Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые
Замечание: функции при
бесконечно малые величины, но к нулю они стремятся по-разному.
Чтобы сравнить бесконечно малые функции рассматривают предел их отношения. Пусть функции и
являются бесконечно малыми при
. Рассмотрим предел отношения этих функций при
и введем следующие определения.
Функции и
называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости при
; если
есть конечное число, отличное от нуля.
Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем функция
при
, если
.
Функция называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем функция
при
, если
.
Функции и
называются несравнимыми бесконечно малыми при
, если
не существует.
Пример 13.
Функция является бесконечно малой при
более высокого порядка малости, чем функция
, так как
.
При приближении к нулю функция
стремится к нулю быстрее, чем функция
.
Пример 14.
Функция и
являются бесконечно малыми одного порядка малости при
, так как
.
Введем теперь понятие эквивалентных бесконечно малых функций.
Две функции и
бесконечно малые при
(
) называются эквивалентными (или равносильными), если предел их отношения при
(
) равен единице.
Например, функции являются эквивалентными бесконечно малыми функциями при
, так как
,
.
Если и
– эквивалентные бесконечно малые функции, то это записывают так:
~
или
~
.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Таблица 3
![]() ![]() | ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() | |
![]() ![]() |
Пример 15. Найти .
Решение. Так как при
~
,
~
то
.
Пример 16.Найти .
Решение.
Пример 17.Найти .
Решение.
.
Пример 18.Найти .
Решение. Так как , а
, то
.
Пример 19.Найти .
Решение. Так как , то
.
Непрерывность функции в точке
Функция , определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точкех0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
.
Равенство означает выполнение трех условий:
1. функция определена в точке х0 и в ее окрестности;
2. функция имеем предел при
;
3. предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке.
Если функция определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Функция называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство
.
Функция называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
=
+
, где
– бесконечно малая при
.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.
3) Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.