Рассмотрим матрицу специального вида
в которой все «диагональные элементы» 
отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.
Теорема 2.Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Теорема 3.Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.
Пример 3
Найти ранг матрицы 
.
Решение
~ 
~ 
На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.
Метод Гаусса решения СЛАУр
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)
Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.
На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.
Пусть дана матрица системы 
.
Рассмотрим расширеннуюматрицу системы
.
Теорема Кронекера – Капелли.
СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:
или 
.
Замечание
Если 
и 
, где n – число неизвестных, то система определенна; если 
, то система неопределенна, если же 
, то система несовместна.
Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.
1. Выписывают расширенную матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.
2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:
– система совместна и определенна,
– система совместна и неопределенна,
– система несовместна.
Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:
1) С~ 
, 
,
следовательно, система определенна, имеет единственное решение,
2) С~ 
,
следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,
3) если какая-либо строка матрицыС имеет вид 
, то система несовместна (решений нет).
3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).
Пример 4
Исследовать и решить СЛАУр: 
.
Решение
Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения 
и 
.
~ 
~
~ 
,
Таким образом, 
, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.
Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:
Þ 
.
Таким образом, 
.
Пример 5
Исследовать и решить СЛАУр: 
.
Решение
~ 
~ 
Так как 
,следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).
Последней матрице соответствует система:
Þ 
где 
и 
– произвольные параметры.
Пример 6
Исследовать и решить СЛАУр: 
Решение
~ 
~ 
Так как 
, то система несовместна (решений нет).
Пример 7
Исследовать и решить СЛАУр: 
.
Решение
Таким образом, 
.