Тема 8. Дискретная математика
Краткие теоретические сведения
Дискретная математика – раздел математики, в котором изучаются свойства структур конечного характера.
Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.
Отрицанием высказывания A называется такое высказывание , которое будет истинно тогда и только тогда, когда высказывание A – ложно.
Таблица истинности:
A | ![]() |
и | л |
л | и |
Конъюнкцией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания A и B – истинны.
Таблица истинности:
A | B | ![]() |
л | л | л |
л | и | л |
и | л | л |
и | и | и |
Дизъюнкцией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выска-зываний A или B – истинно .
Таблица истинности:
A | B | ![]() |
л | л | л |
л | и | и |
и | л | и |
и | и | и |
Импликацией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое ложно тогда и только тогда, когда A – истинно, а B – ложно.
Таблица истинности:
A | B | ![]() |
л | л | и |
л | и | и |
и | л | л |
и | и | и |
Эквивалентностью двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда A и B одновременно истинны или одновременно ложны.
Таблица истинности:
A | B | ![]() |
л | л | и |
л | и | л |
и | л | л |
и | и | и |
Порядок выполнения логических операций:
- отрицание,
- конъюнкция,
- дизъюнкция,
- импликация,
- эквивалентность.
Если есть скобки, то сначала выполняются операции в скобках.
Правило суммы: Если объект A можно выбрать m способами, а объект B - n способами, то объект A или B можно выбрать m+ n способами.
Правило произведения:Если объект A можно выбрать m способами, а после каждого выбора другой объект B можно выбрать n способами, то пару объектов A и B можно выбрать способами.
Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Размещениемиз n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов.
Число всевозможных размещений из n элементов по m обозначается: .
=
, где n! = 1·2·3·…·n.
Перестановки - это размещения из n элементов по n.
Число перестановок обозначается: . Находится число перестановок из n элементов по формуле:
= n!.
Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Сочетаниемиз n элементов по m элементов называется любое подмножество данного мно-жества, содержащее m элементов.
Число всевозможных сочетаний из n элементов по m обозначается: .
=
.
Задания к расчетно-графической работе
Задание 8.1.Составить таблицу истинности для следующего высказывания.
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() |
Задание 8.2.Решить задачи:
В1.Сколькими способами можно распределить 3 награды (за I, II, III места) между 15 участниками соревнований?
В2.Сколько имеется шестизначных чисел, все цифры которых различны?
В3.Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?
В4. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «ДРАМТЕАТР»?
В5. Сколькими способами можно разложить 30 различных предметов по 5 ящикам, так, чтобы в каждом ящике оказалось по 6 предметов?
В6.В вазе находится 12 розовых и 8 красных роз. Сколькими способами можно составить букет, содержащий 7 розовых и 6 красных роз?
В7.Студенты в сессию сдают 5 экзаменов, в том числе два экзамена по химии. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по химии следовали один за другим?
В8.В ящике находится 20 деталей, из которых 4 бракованные. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых будет 2 детали бракованные?
В9.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры могут повторяться?
В10.В группе имеется 15 студентов, из них 8 девушек. Сколькими способами можно выбрать из группы 6 человек так, чтобы среди них была ровно одна девушка?
Пример выполнения заданий по теме 8
Задание 8.1.Составить таблицу истинности для следующего высказывания
.
Решение.
Учитывая порядок выполнения операций и определения операций, составим таблицу истинности для данного высказывания:
A | B | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
л | л | и | л | и | л | и |
л | и | л | и | и | л | и |
и | л | л | и | и | л | и |
и | и | и | л | и | и | и |
Задание 8.2.
а) Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «ХИМИЯ»?
б) Бригада состоит из 18 рабочих, из которых 13 мужчин и 5 женщин. Для выполнения задания в командировке необходимо отобрать из них 5 мужчин и 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?
в) На день рождения пригласили 6 гостей. Сколькими способами их можно рассадить за столом, за которым стоят 9 стульев?
Решение.
а) Так как здесь порядок букв играет роль, то это будут размещения из 5 элементов по 5, то есть перестановки. Число всех перестановок из 5 элементов по 5 будет определяться как P =5! = 5·4·3·2·1 = 120. Но так как в слове «ХИМИЯ» встречается две одинаковые буквы «И», то различных слов будет меньше в P
= 2·1 = 2 раз. Таким образом, всего различных слов будет 120:2 = = 60.
б) Так как порядок рабочих не важен, то применяются сочетания. Число всех способов выбора 5 мужчин из 13 и 2 женщин из 5 можно найти по формуле: С ·С
=
= 12870.
в) Так как порядок размещения гостей играет роль, то число всех возможных комбинаций можно найти как A =
= 60480.