Тема 5. Интегральное исчисление функции одной переменной
Краткие теоретические сведения
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на промежутке X, если для любого x из данного промежутка X верно равенство: F¢(x) = f(x).
Неопределенным интеграломотфункции f(x) называется множество всех первообразных функций F(x) + C для функции f(x).
Записывают: .
Основные свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4. ;
5. , где k
R, k
0.
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной): .
Метод интегрирования по частям: ;
Если существует конечный предел суммы при
, не зависящей ни от способа разбиения отрезка [a, b] на части, ни от выбора точек
, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a, b].
Обозначается: =
, а – нижний предел, b – верхний предел интегрирования, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Основные свойства определенного интеграла:
1) Для любых a, b, c верно ;
2)
3)
4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] то
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: ;
6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на
этом отрезке существует точка c такая, что .
Формула Ньютона – Лейбница: Если функция F(x) – какая - либо перво-образная от непрерывной функции f(x), то .
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной):
, здесь j(a) = а, j(b) = b.
Метод интегрирования по частям:
Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Задания к расчетно-графической работе
Задание 5.1.Найдите неопределенные интегралы.
Вариант | Вариант | ||
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Задание 5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вариант | Задание | Вариант | Задание |
![]() | ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() |
Пример выполнения заданий по теме 5
Задание 5.1.Найдите неопределенные интегралы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)
ж) ;
Решение.
а) Сделаем замену t = sinx. Тогда dt = cosxdt и:
=
б) Выполним замену: Получаем:
в) Воспользуемся методом интегрирования по частям:
г) Применим метод интегрирования по частям дважды:
д) Представим дробь
в виде суммы простейших дробей.
Так как то
=
.
Тогда =
. Откуда следует, что 2x + 5 = A(x – 1) + + B(x + 3). Положим x = -3, тогда -1 = -4A, то есть A =
; Положим x = 1, тогда 7 = 4B, то есть B =
. Следовательно,
=
. Тогда
=
=
е) Для нахождения данного интеграла воспользуемся подстановкой t = . Тогда
, откуда
и
. Таким образом,
.
Так как под знаком интеграла получилась неправильная дробь , то разложим неправильную дробь на сумму правильной дроби и многочлена. Выполнив деление числителя на знаменатель, получим:
= 2 -
. Тогда
. Сделав обратную замену t =
, получим, что
=
.
ж) Для нахождения данного интеграла воспользуемся формулой:
sin sin
=
.
Тогда:
= =
=
= =
Задание 5.2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Решение.
График функции y = x – прямая, являющаяся осью симметрии первого и третьего координатных углов; график функции y = x2 - парабола с вершиной в точке (0;0), а графиком линии x = 2 является прямая, перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через точку (2; 0).
Построим графики функций: y = x, y = x2, x = 2.
Искомая фигура заштрихована на рисунке:
Тогда
S =
(ед2)