Краткие теоретические сведения для выполнения контрольную работу № 5
"Теория вероятностей и математическая статистика"
Теория вероятностей»
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Результат испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.
Два события называются несовместными, если появление одного их них исключает появление другого в одном и том же испытании и совместными - в противном случае.
Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через 
.
Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.
Совокупность событий образует полную группу для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.
События А1, А2, … Аn, образующие полную группу попарно несовместимых равновозможных событий, называются элементарными.
Классическое определение вероятности
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.
.
Следствия:
1. Вероятность достоверного события (m = n) равна единице.
2. Вероятность невозможного события (m = 0) равна нулю.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Элементы комбинаторики
Для подсчета числа элементарных событий используются формулы из раздела элементарной математики - комбинаторики.
2) Размещением без повторений 
называется любой упорядоченный набор m различных элементов множества, состоящего из n различных элементов. Число различных размещений из n элементов по m элементов определяется по формуле:
.
2) Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Число всех перестановок находится по формуле:
Рn = n!.
3) Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом (без учета порядка следования элементов). Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле:
.
1) Размещением с повторениями 
называется любой набор k элементов множества, состоящего из n различных элементов, причем среди k элементов могут быть как различные элементы, так и одинаковые.
Число размещений с повторениями определяется формулой:
.
Алгебра событий
Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее или в наступлении события А, или события В, или обоих событий одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С = А×В, состоящее в выполнении и события А, и события В.
Диаграммы Эйлера
Здесь W - пространство элементарных событий (т.е. множество, составленное из всех элементарных событий).