Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов

Как правило, в экспериментах задается значение некоторой величины Х и измеряется значение некоторой другой величины У связанной с Хфункциональной зависимостью, вид которой не известен. В результате получают таблично заданную функцию . Аналитический вид этой функции неизвестен.

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет построить аналитическое выражение функции (теоретическую кривую) по опытным данным. В соответствии с МНК теоретическая кривая должна проходить так, чтобы сумма квадратов отклонений ее ординат от экспериментальных данных в опытных точках была минимальной.

Математически эта задача формулируется следующим образом:

.

Как правило, вид теоретической кривой выбирается в виде полинома

,

тогда (8.6.1.) записывается так:

.

В силу квадратичности функционала Lотносительно коэффициентов и неотрицательности существует единственный минимум. Условия экстремума Lпозволяют получить систему m уравнений для вычисления коэффициентов . Эти уравнения называются системой нормальных уравнений:

.

МНК особенно удобен для использования в матричной форме.

Пусть проведен эксперимент в котором получено n пар значений и ; теоретическая кривая выбрана в виде полинома (8.6.2).

Введем матрицы:

; ; .

Система нормальных уравнений размерности будет представлена в виде:

Разрешая это матричное уравнение относительно матрицы , находим:

.

При найденных таким образом коэффициентах условие (8.6.3) выполнится.

Пример: По МНК построить теоретическую кривую в виде полинома второго порядка для обработки эксперимента:

3
	-2	-1
	3,3	-0,1	-0,8	-0,5	2,6	9,2

Введем матрицы в соответствии с (8.6.5.):

; ; ; По (8.6.6) находим: .

Теоретическая кривая: .

На рис. 8.4. приведена теоретическая кривая и показаны экспериментальные точки.

Рис. 8.4.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. ‑ 479с.

Приложения

Таблица П1. Интеграл Лапласа и плотность нормального распределения

x	F(x)	j(x)	x	F(x)	j(x)	x	F(x)	j(x)
0.00	0.00000	0.39894	0.46	0.17724	0.35889	0.92	0.32121	0.26129
0.01	0.00399	0.39892	0.47	0.18082	0.35723	0.93	0.32381	0.25888
0.02	0.00798	0.39886	0.48	0.18439	0.35553	0.94	0.32639	0.25647
0.03	0.01197	0.39876	0.49	0.18793	0.35381	0.95	0.32894	0.25406
0.04	0.01595	0.39862	0.50	0.19146	0.35207	0.96	0.33147	0.25164
0.05	0.01994	0.39844	0.51	0.19497	0.35029	0.97	0.33398	0.24923
0.06	0.02392	0.39822	0.52	0.19847	0.34849	0.98	0.33646	0.24681
0.07	0.02790	0.39797	0.53	0.20194	0.34667	0.99	0.33891	0.24439
0.08	0.03188	0.39767	0.54	0.20540	0.34482	1.00	0.34134	0.24197
0.09	0.03586	0.39733	0.55	0.20884	0.34294	1.01	0.34375	0.23955
0.10	0.03983	0.39695	0.56	0.21226	0.34105	1.02	0.34614	0.23713
0.11	0.04380	0.39654	0.57	0.21566	0.33912	1.03	0.34849	0.23471
0.12	0.04776	0.39608	0.58	0.21904	0.33718	1.04	0.35083	0.23230
0.13	0.05172	0.39559	0.59	0.22240	0.33521	1.05	0.35314	0.22988
0.14	0.05567	0.39505	0.60	0.22575	0.33322	1.06	0.35543	0.22747
0.15	0.05962	0.39448	0.61	0.22907	0.33121	1.07	0.35769	0.22506
0.16	0.06356	0.39387	0.62	0.23237	0.32918	1.08	0.35993	0.22265
0.17	0.06749	0.39322	0.63	0.23565	0.32713	1.09	0.36214	0.22025
0.18	0.07142	0.39253	0.64	0.23891	0.32506	1.10	0.36433	0.21785
0.19	0.07535	0.39181	0.65	0.24215	0.32297	1.11	0.36650	0.21546
0.20	0.07926	0.39104	0.66	0.24537	0.32086	1.12	0.36864	0.21307
0.21	0.08317	0.39024	0.67	0.24857	0.31874	1.13	0.37076	0.21069
0.22	0.08706	0.38940	0.68	0.25175	0.31659	1.14	0.37286	0.20831
0.23	0.09095	0.38853	0.69	0.25490	0.31443	1.15	0.37493	0.20594
0.24	0.09483	0.38762	0.70	0.25804	0.31225	1.16	0.37698	0.20357
0.25	0.09871	0.38667	0.71	0.26115	0.31006	1.17	0.37900	0.20121
0.26	0.10257	0.38568	0.72	0.26424	0.30785	1.18	0.38100	0.19886
0.27	0.10642	0.38466	0.73	0.26730	0.30563	1.19	0.38298	0.19652
0.28	0.11026	0.38361	0.74	0.27035	0.30339	1.20	0.38493	0.19419
0.29	0.11409	0.38251	0.75	0.27337	0.30114	1.21	0.38686	0.19186
0.30	0.11791	0.38139	0.76	0.27637	0.29887	1.22	0.38877	0.18954
0.31	0.12172	0.38023	0.77	0.27935	0.29659	1.23	0.39065	0.18724
0.32	0.12552	0.37903	0.78	0.28230	0.29431	1.24	0.39251	0.18494
0.33	0.12930	0.37780	0.79	0.28524	0.29200	1.25	0.39435	0.18265
0.34	0.13307	0.37654	0.80	0.28814	0.28969	1.26	0.39617	0.18037
0.35	0.13683	0.37524	0.81	0.29103	0.28737	1.27	0.39796	0.17810
0.36	0.14058	0.37391	0.82	0.29389	0.28504	1.28	0.39973	0.17585
0.37	0.14431	0.37255	0.83	0.29673	0.28269	1.29	0.40147	0.17360
0.38	0.14803	0.37115	0.84	0.29955	0.28034	1.30	0.40320	0.17137
0.39	0.15173	0.36973	0.85	0.30234	0.27798	1.31	0.40490	0.16915
0.40	0.15542	0.36827	0.86	0.30511	0.27562	1.32	0.40658	0.16694
0.41	0.15910	0.36678	0.87	0.30785	0.27324	1.33	0.40824	0.16474
0.42	0.16276	0.36526	0.88	0.31057	0.27086	1.34	0.40988	0.16256
0.43	0.16640	0.36371	0.89	0.31327	0.26848	1.35	0.41149	0.16038
0.44	0.17003	0.36213	0.90	0.31594	0.26609	1.36	0.41309	0.15822
0.45	0.17364	0.36053	0.91	0.31859	0.26369	1.37	0.41466	0.15608

Продолжение табл. П1

x	F(x)	j(x)	x	F(x)	j(x)	x	F(x)	j(x)
1.38	0.41621	0.15395	1.90	0.47128	0.06562	2.42	0.49224	0.02134
1.39	0.41774	0.15183	1.91	0.47193	0.06438	2.43	0.49245	0.02083
1.40	0.41924	0.14973	1.92	0.47257	0.06316	2.44	0.49266	0.02033
1.41	0.42073	0.14764	1.93	0.47320	0.06195	2.45	0.49286	0.01984
1.42	0.42220	0.14556	1.94	0.47381	0.06077	2.46	0.49305	0.01936
1.43	0.42364	0.14350	1.95	0.47441	0.05959	2.47	0.49324	0.01888
1.44	0.42507	0.14146	1.96	0.47500	0.05844	2.48	0.49343	0.01842
1.45	0.42647	0.13943	1.97	0.47558	0.05730	2.49	0.49361	0.01797
1.46	0.42785	0.13742	1.98	0.47615	0.05618	2.50	0.49379	0.01753
1.47	0.42922	0.13542	1.99	0.47670	0.05508	2.51	0.49396	0.01709
1.48	0.43056	0.13344	2.00	0.47725	0.05399	2.52	0.49413	0.01667
1.49	0.43189	0.13147	2.01	0.47778	0.05292	2.53	0.49430	0.01625
1.50	0.43319	0.12952	2.02	0.47831	0.05186	2.54	0.49446	0.01585
1.51	0.43448	0.12758	2.03	0.47882	0.05082	2.55	0.49461	0.01545
1.52	0.43574	0.12566	2.04	0.47932	0.04980	2.56	0.49477	0.01506
1.53	0.43699	0.12376	2.05	0.47982	0.04879	2.57	0.49492	0.01468
1.54	0.43822	0.12188	2.06	0.48030	0.04780	2.58	0.49506	0.01431
1.55	0.43943	0.12001	2.07	0.48077	0.04682	2.59	0.49520	0.01394
1.56	0.44062	0.11816	2.08	0.48124	0.04586	2.60	0.49534	0.01358
1.57	0.44179	0.11632	2.09	0.48169	0.04491	2.61	0.49547	0.01323
1.58	0.44295	0.11450	2.10	0.48214	0.04398	2.62	0.49560	0.01289
1.59	0.44408	0.11270	2.11	0.48257	0.04307	2.63	0.49573	0.01256
1.60	0.44520	0.11092	2.12	0.48300	0.04217	2.64	0.49585	0.01223
1.61	0.44630	0.10915	2.13	0.48341	0.04128	2.65	0.49598	0.01191
1.62	0.44738	0.10741	2.14	0.48382	0.04041	2.66	0.49609	0.01160
1.63	0.44845	0.10567	2.15	0.48422	0.03955	2.67	0.49621	0.01130
1.64	0.44950	0.10396	2.16	0.48461	0.03871	2.68	0.49632	0.01100
1.65	0.45053	0.10226	2.17	0.48500	0.03788	2.69	0.49643	0.01071
1.66	0.45154	0.10059	2.18	0.48537	0.03706	2.70	0.49653	0.01042
1.67	0.45254	0.09893	2.19	0.48574	0.03626	2.71	0.49664	0.01014
1.68	0.45352	0.09728	2.20	0.48610	0.03547	2.72	0.49674	0.00987
1.69	0.45449	0.09566	2.21	0.48645	0.03470	2.73	0.49683	0.00961
1.70	0.45543	0.09405	2.22	0.48679	0.03394	2.74	0.49693	0.00935
1.71	0.45637	0.09246	2.23	0.48713	0.03319	2.75	0.49702	0.00909
1.72	0.45728	0.09089	2.24	0.48745	0.03246	2.76	0.49711	0.00885
1.73	0.45818	0.08933	2.25	0.48778	0.03174	2.77	0.49720	0.00861
1.74	0.45907	0.08780	2.26	0.48809	0.03103	2.78	0.49728	0.00837
1.75	0.45994	0.08628	2.27	0.48840	0.03034	2.79	0.49736	0.00814
1.76	0.46080	0.08478	2.28	0.48870	0.02965	2.80	0.49744	0.00792
1.77	0.46164	0.08329	2.29	0.48899	0.02898	2.85	0.49781	0.00687
1.78	0.46246	0.08183	2.30	0.48928	0.02833	2.90	0.49813	0.00595
1.79	0.46327	0.08038	2.31	0.48956	0.02768	2.95	0.49841	0.00514
1.80	0.46407	0.07895	2.32	0.48983	0.02705	3.00	0.49865	0.00443
1.81	0.46485	0.07754	2.33	0.49010	0.02643	3.10	0.49903	0.00327
1.82	0.46562	0.07614	2.34	0.49036	0.02582	3.20	0.49931	0.00238
1.83	0.46638	0.07477	2.35	0.49061	0.02522	3.30	0.49952	0.00172
1.84	0.46712	0.07341	2.36	0.49086	0.02463	3.40	0.49966	0.00123
1.85	0.46784	0.07206	2.37	0.49111	0.02406	3.50	0.49977	0.00087
1.86	0.46856	0.07074	2.38	0.49134	0.02349	3.60	0.49984	0.00061
1.87	0.46926	0.06943	2.39	0.49158	0.02294	3.80	0.49993	0.00029
1.88	0.46995	0.06814	2.40	0.49180	0.02239	4.00	0.49997	0.00013
1.89	0.47062	0.06687	2.41	0.49202	0.02186	4.50	0.50000	0.00002

Таблица П2. Квантили t-распределения Стьюдента t_p(f)

f \ p	0.9	0.95	0.975	0.99	0.995	0.9975	0.999	0.9995
	3.07768	6.31375	12.70620	31.82052	63.65674	127.3213	318.3088	636.6193
	1.88562	2.91999	4.30265	6.96456	9.92484	14.08905	22.32712	31.59905
	1.63775	2.35338	3.18245	4.54070	5.84091	7.45332	10.21453	12.92398
	1.53321	2.13185	2.77645	3.74695	4.60410	5.59757	7.17318	8.61030
	1.47588	2.01505	2.57058	3.36493	4.03216	4.77335	5.89343	6.86883
	1.43976	1.94318	2.44691	3.14267	3.70743	4.31683	5.20763	5.95882
	1.41492	1.89458	2.36462	2.99795	3.49948	4.02934	4.78529	5.40790
	1.39682	1.85955	2.30600	2.89646	3.35539	3.83252	4.50079	5.04131
	1.38303	1.83311	2.26216	2.82144	3.24984	3.68966	4.29681	4.78091
	1.37218	1.81246	2.22814	2.76377	3.16927	3.58141	4.14370	4.58689
	1.36343	1.79588	2.20099	2.71808	3.10581	3.49661	4.02470	4.43698
	1.35622	1.78229	2.17881	2.68100	3.05454	3.42844	3.92963	4.31779
	1.35017	1.77093	2.16037	2.65031	3.01228	3.37247	3.85198	4.22083
	1.34503	1.76131	2.14479	2.62449	2.97684	3.32570	3.78739	4.14045
	1.34061	1.75305	2.13145	2.60248	2.94671	3.28604	3.73283	4.07277
	1.33676	1.74588	2.11991	2.58349	2.92078	3.25199	3.68615	4.01500
	1.33338	1.73961	2.10982	2.56693	2.89823	3.22245	3.64577	3.96513
	1.33039	1.73406	2.10092	2.55238	2.87844	3.19657	3.61048	3.92165
	1.32773	1.72913	2.09302	2.53948	2.86093	3.17372	3.57940	3.88341
	1.32534	1.72472	2.08596	2.52798	2.84534	3.15340	3.55181	3.84952
	1.32319	1.72074	2.07961	2.51765	2.83136	3.13521	3.52715	3.81928
	1.32124	1.71714	2.07387	2.50832	2.81876	3.11882	3.50499	3.79213
	1.31946	1.71387	2.06866	2.49987	2.80734	3.10400	3.48496	3.76763
	1.31784	1.71088	2.06390	2.49216	2.79694	3.09051	3.46678	3.74540
	1.31635	1.70814	2.05954	2.48511	2.78744	3.07820	3.45019	3.72514
	1.31497	1.70562	2.05553	2.47863	2.77871	3.06691	3.43500	3.70661
	1.31370	1.70329	2.05183	2.47266	2.77068	3.05652	3.42103	3.68959
	1.31253	1.70113	2.04841	2.46714	2.76326	3.04693	3.40816	3.67391
	1.31143	1.69913	2.04523	2.46202	2.75639	3.03805	3.39624	3.65941
	1.31042	1.69726	2.04227	2.45726	2.75000	3.02980	3.38518	3.64596
	1.30308	1.68385	2.02108	2.42326	2.70446	2.97117	3.30688	3.55097
	1.29871	1.67591	2.00856	2.40327	2.67779	2.93696	3.26141	3.49601
	1.29582	1.67065	2.00030	2.39012	2.66028	2.91455	3.23171	3.46020
	1.29103	1.66196	1.98667	2.36850	2.63157	2.87788	3.18327	3.40194
	1.28865	1.65765	1.97993	2.35782	2.61742	2.85986	3.15954	3.37345
	1.28509	1.65123	1.96990	2.34199	2.59647	2.83322	3.12454	3.33152
¥	1.28155	1.64485	1.95996	2.32635	2.57583	2.80703	3.09023	3.29053

Таблица П3. Квантили c²-распределения Пирсона c²_p(f)

f \ p	0.9	0.95	0.975	0.99	0.995	0.9975	0.999	0.9995
	2.70554	3.84146	5.02389	6.63490	7.87944	9.14059	10.82757	12.11567
	4.60517	5.99146	7.37776	9.21034	10.59663	11.98293	13.81551	15.20180
	6.25139	7.81473	9.34840	11.34487	12.83816	14.32035	16.26624	17.73000
	7.77944	9.48773	11.14329	13.27670	14.86026	16.42394	18.46683	19.99735
	9.23636	11.07050	12.83250	15.08627	16.74960	18.38561	20.51501	22.10533
	10.64464	12.59159	14.44938	16.81189	18.54758	20.24940	22.45774	24.10280
	12.01704	14.06714	16.01276	18.47531	20.27774	22.04039	24.32189	26.01783
	13.36157	15.50731	17.53455	20.09024	21.95495	23.77447	26.12448	27.86805
	14.68366	16.91898	19.02277	21.66599	23.58935	25.46248	27.87718	29.66582
	15.98718	18.30704	20.48318	23.20925	25.18818	27.11217	29.58830	31.41981
	17.27501	19.67514	21.92005	24.72497	26.75685	28.72935	31.26414	33.13662
	18.54935	21.02607	23.33666	26.21697	28.29952	30.31848	32.90949	34.82127
	19.81193	22.36203	24.73560	27.68825	29.81947	31.88309	34.52818	36.47779
	21.06414	23.68479	26.11895	29.14124	31.31935	33.42601	36.12327	38.10940
	22.30713	24.99579	27.48839	30.57791	32.80132	34.94959	37.69730	39.71876
	23.54183	26.29623	28.84535	31.99993	34.26719	36.45575	39.25235	41.30807
	24.76904	27.58711	30.19101	33.40866	35.71847	37.94614	40.79022	42.87921
	25.98942	28.86930	31.52638	34.80531	37.15645	39.42215	42.31240	44.43377
	27.20357	30.14353	32.85233	36.19087	38.58226	40.88497	43.82020	45.97312
	28.41198	31.41043	34.16961	37.56623	39.99685	42.33566	45.31475	47.49845
	29.61509	32.67057	35.47888	38.93217	41.40106	43.77512	46.79704	49.01081
	30.81328	33.92444	36.78071	40.28936	42.79565	45.20415	48.26794	50.51112
	32.00690	35.17246	38.07563	41.63840	44.18128	46.62346	49.72823	52.00019
	33.19624	36.41503	39.36408	42.97982	45.55851	48.03369	51.17860	53.47875
	34.38159	37.65248	40.64647	44.31410	46.92789	49.43540	52.61966	54.94746
	35.56317	38.88514	41.92317	45.64168	48.28988	50.82911	54.05196	56.40689
	36.74122	40.11327	43.19451	46.96294	49.64492	52.21527	55.47602	57.85759
	37.91592	41.33714	44.46079	48.27824	50.99338	53.59431	56.89229	59.30003
	39.08747	42.55697	45.72229	49.58788	52.33562	54.96660	58.30117	60.73465
	40.25602	43.77297	46.97924	50.89218	53.67196	56.33250	59.70306	62.16185
	51.80506	55.75848	59.34171	63.69074	66.76596	69.69911	73.40196	76.09460
	63.16712	67.50481	71.42020	76.15389	79.48998	82.66405	86.66082	89.56052
	74.39701	79.08194	83.29767	88.37942	91.95170	95.34402	99.60723	102.6948
	107.5595	113.1425	118.1388	124.1303	128.3240	132.2938	137.2668	140.8583
	140.2278	146.5652	152.2141	158.9625	163.6700	168.1148	173.6679	177.6683
	268.4675	277.1363	284.8046	293.8971	300.1978	306.1168	313.4722	318.7450

Для больших f: , где u_p – квантиль стандартного нормального распределения (см.последнюю строку таблицы 2).

Продолжение табл.П3

f \ p	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005	0.0025	0.001	0.0005
	0.01579	0.00393	0.00098	0.00016	0.00004	0.00001	0.00000	0.00000
	0.21072	0.10259	0.05064	0.02010	0.01003	0.00501	0.00200	0.00100
	0.58437	0.35185	0.21580	0.11483	0.07172	0.04494	0.02430	0.01528
	1.06362	0.71072	0.48442	0.29711	0.20699	0.14487	0.09080	0.06392
	1.61031	1.14548	0.83121	0.55430	0.41174	0.30748	0.21021	0.15814
	2.20413	1.63538	1.23734	0.87209	0.67573	0.52657	0.38107	0.29941
	2.83311	2.16735	1.68987	1.23904	0.98926	0.79447	0.59849	0.48487
	3.48954	2.73264	2.17973	1.64650	1.34441	1.10426	0.85710	0.71038
	4.16816	3.32511	2.70039	2.08790	1.73493	1.45014	1.15195	0.97170
	4.86518	3.94030	3.24697	2.55821	2.15586	1.82740	1.47874	1.26498
	5.57778	4.57481	3.81575	3.05348	2.60322	2.23214	1.83385	1.58685
	6.30380	5.22603	4.40379	3.57057	3.07382	2.66118	2.21421	1.93438
	7.04150	5.89186	5.00875	4.10692	3.56503	3.11188	2.61722	2.30506
	7.78953	6.57063	5.62873	4.66043	4.07467	3.58202	3.04067	2.69673
	8.54676	7.26094	6.26214	5.22935	4.60092	4.06973	3.48268	3.10752
	9.31224	7.96165	6.90766	5.81221	5.14221	4.57341	3.94163	3.53581
	10.08519	8.67176	7.56419	6.40776	5.69722	5.09167	4.41609	3.98018
	10.86494	9.39046	8.23075	7.01491	6.26480	5.62334	4.90485	4.43939
	11.65091	10.11701	8.90652	7.63273	6.84397	6.16736	5.40682	4.91234
	12.44261	10.85081	9.59078	8.26040	7.43384	6.72282	5.92104	5.39807
	13.23960	11.59131	10.28290	8.89720	8.03365	7.28892	6.44668	5.89570
	14.04149	12.33801	10.98232	9.54249	8.64272	7.86493	6.98297	6.40447
	14.84796	13.09051	11.68855	10.19572	9.26042	8.45021	7.52924	6.92368
	15.65868	13.84843	12.40115	10.85636	9.88623	9.04418	8.08488	7.45269
	16.47341	14.61141	13.11972	11.52398	10.51965	9.64633	8.64934	7.99096
	17.29188	15.37916	13.84390	12.19815	11.16024	10.25618	9.22213	8.53795
	18.11390	16.15140	14.57338	12.87850	11.80759	10.87331	9.80278	9.09320
	18.93924	16.92788	15.30786	13.56471	12.46134	11.49732	10.39088	9.65627
	19.76774	17.70837	16.04707	14.25645	13.12115	12.12787	10.98605	10.22678
	20.59923	18.49266	16.79077	14.95346	13.78672	12.76462	11.58795	10.80436
	29.05052	26.50930	24.43304	22.16426	20.70654	19.41710	17.91643	16.90622
	37.68865	34.76425	32.35736	29.70668	27.99075	26.46355	24.67391	23.46097
	46.45889	43.18796	40.48175	37.48485	35.53449	33.79114	31.73834	30.34048
	73.29493	69.12590	65.64051	61.73768	59.17068	56.85617	54.10442	52.21280
	100.6271	95.70469	91.56752	86.90915	83.82929	81.04082	77.71040	75.41087
	212.3882	205.1357	198.9805	191.9800	187.3084	183.0473	177.9166	174.3463