Применение степенных рядов к приближенным вычислениям

Теория рядов имеет большое практическое применение ввиду возможности представления функции f (x) в виде бесконечного ряда более простых функций, в частности, степенного ряда.

а) Разложения, полученные в предыдущем параграфе, позволяют приближенно вычислять частные значения функции.

Пример 15. Вычислим . Полагая в разложении для функции e^x значениеx = , получим:

Если отбросить все члены, начиная с шестого, то погрешность вычисления будет меньше . Отсюда » 1,646.

Пример 16. Вычислить . Полагая в разложении для значение x = =0,17(4), получим

Если отбросить все члены, начиная с третьего, то погрешность будет по абсолютной величине меньше , тогда . Как видно из полученного результата, значение для малых углов сравнимо со значением угла ( »x).

б) Используя разложения функций в степенные ряды, можно вычислять определенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции.

Пример 17. Вычислить интеграл .

Разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении (28) x на -x²:

Интегрируя обе части равенства, получим

=

При a = 1 погрешность вычисления интеграла, если отбросить все члены ряда, начиная с четвертого, составит по абсолютной величине .

в) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов используется тогда, когда непосредственное интегрирование дифференциального уравнения невозможно. В таких случаях прибегают к приближенному методу - представлению решения уравнения в виде суммы конечного числа членов ряда Тейлора или Маклорена. Разберем сказанное на примере.

Пример 18. Найти решение уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(0) = 0.

Найдем значение первой производной при x = 0: . Продифференцируем исходное уравнение:

.

Найдем значение второй производной при x = 0: . Этот процесс можно продолжить. Подставляя значения производных в ряд (26¢), получим

Увеличивая число слагаемых можно получить приближение для y(x) с любой степенью точности.

1) Виды дифференциальных уравнений и методы их решения

			Метод решения
	Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными:		почленное интегрирование.
	Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными		приведение к уравнению с разделёнными переменными, интегрирование.
	Линейное дифференциальное уравнение первого порядка		с помощью подстановки. , где , , сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

			Метод решения
	Уравнение Бернулли	, где	с помощью подстановки. , где , , сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
	Однородное дифференциальное уравнение первого порядка		подстановка. , где ,

2) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

		Метод решения
	y'' + py' + qy = 0, гдеp, q – const	с помощью характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, имеющего корни k1 и k2

3) Вид общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0	Фундаментальная система решений.	Общее решение уравнения y'' + py' + qy = 0
1 k1 ≠ k2 – действительные различные числа.	;
2 k1 = k2 = k – действительные одинаковые числа.	;
3 , – комплексно-сопряжённые числа,	,

4) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

		Метод решения
	y'' + py' + q = f (x), гдеp, q – const	Структура решения: , где yоо – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному; yчн – некоторое частное решение данного неоднородного уравнения.

5) Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения уравнения yчн
1.	k1 ≠ k2,а ≠ k1а ≠ k2
	k1 ≠ k2, причем а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2
	k1 = k2 = α
		– многочлен той же степени, что и , с неизвестными коэффициентами
2 ; а = 0	а ≠ k1, а ≠ k2
	а = k1, а ≠ k2или а ≠ k1, а = k2
3 A, B, β– заданные числа	k1,2 ≠ а ± β i ( ) а=0	, M, N – неизвестные постоянные
k1,2 = а ± β i ( ) а=0	, M, N – неизвестные постоянные

Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения уравнения yчн
4 где а βi-комплексные числа, составленные по виду правой части исходного дифференциального уравнения.
		– многочлены одной и той же степени m с неизвестными различными коэффициентами.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию:

Решение

1) Разделим обе части уравнения на

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого

Общее решение данного уравнения найдем в виде -неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.

2) , получаем уравнение:

; (*)

3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

, разделим переменные

Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:

, так как

, полагаем с=0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно

4) Подставим в уравнение

; ; - разделим переменные

, интегрируем обе части равенства:

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Итак,

5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постояннойс по начальному условию, данному в задании.

при , получаем равенство

, так как , то .

Следовательно,

Ответ:

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

Решение

1) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):

Характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.

- мнимая единица

Общее решение ЛОДУ:

2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид - многочлен второй степени, е^ах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – неявляется корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:

Подставим в данное ЛНДУ уравнение:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:

Отсюда , поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид

3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании:

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Понятие случайного события. События совместные и несовместные, зависимые и независимые. Полная группа событий. Алгебра событий, сложение и умножение событий.

События (явления), наблюдаемые нами, подразделяются на достоверные, которые обязательно произойдут, если будут осуществлены определенные условия для их реализации; недостоверные /невозможные/, которые заведомо не произойдут в данных условиях; случайные, которые при осуществлении определенных условий могут произойти, а могут и не произойти.

Пример 1.1.1.

Если брошена монета, игральная кость или извлекается шар из урны, наполненной цветными шарами, то события: "выпадает герб или надпись", "появление определенного числа на верхней грани" игральной кости", "извлечение шара определенного цвета из урны" — события случайные .

События: "выпадение одной из сторон монеты, "появление одной грани игральной кости", " извлечение пара из урны - события достоверные. В приведенных выше рассуждениях четко проявляется диалектика сущности "закона единства и борьбы противоположностей".

События случайные и достоверные противоположные, но осуществляются единым образом при их реализации.

Каждое случайное событие строго не детерминировано, не имеет строгую причину для осуществления, поскольку является следствием действия многих различных факторов, влияние которых на конечный результат учесть практически невозможно.

Пример 1.1.2.

Если брошена монета, то такими факторами, определяющими конечный результат бросания монеты, являются: начальная скорость, которую приобрела монета, форма монеты, неординарность чеканки монеты и многие другие.

Следует различить события совместные и несовместные, зависимые и независимые.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Под испытанием мы подразумеваем, осуществление определенных условий, при которых событие может произойти, а может и не произойти.

В урне имеются цветные шары. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета - событие.

Если в одном и том же испытании несколько событий могут появиться вместе, то такие события называются совместными .

Пример 1.1.3.

Из урны, наполненной, разноцветными шарами, извлекается один шар. Появление шара определенного цвета исключает появление шара другого цвета.

Пример 1.1.4.

Из урны, наполненной строго разноцветными шарами, извлекаются одновременно два шара. Событие появления двух шаров разных цветов - событие совместное.

Не следует понимать, что совместные события реализуются одновременно.

Пример 1.1.5.

Если проводятся повторные испытания: два раза подряд брошена монета (или два раза подряд извлекается шар на урны, наполненной строго разноцветными шарами), совместным событием будет выпадение двух гербов (или извлечение двух разноцветных шаров) в этих двух последовательных испытаниях.

Естественна в этом примере эквивалентная замена двух повторных испытаний одним испытанием с бросанием двух монет (или извлечение по шару из двух урн).

Два события называются независимыми, если появление одного из них не зависит от того, произошло ли другое событие в данном испытании. В противном случае события называются зависимыми.

Пример 1.1.6.

В урне имеются белые и черные шары. Подряд извлекаются два шара. Появление белого шара при втором извлечении зависит от того, какой был извлечен шар в первый раз, если извлеченный шар при первом испытании не возвращается в урну. В свою очередь, извлечение белого тара при первом испытании не зависит от исхода второго испытания.

Пример 1.1.7.

В предыдущем примере извлеченный первый шар возвращают в урну. Событие - извлечение второго белого шара из урны не зависит от исхода первого извлечения.

Будем говорить, что совокупность случайных событий образует полную группу событий, если в результате испытания появление одного и только одного из них является достоверным событием. Докажем, что при бросании монеты два события (выпадение надписи и герба) составляют полную группу событий. Доказательство будем вести способом от противного.

Предложим, что полную группу событий составляют одно (например, выпадение герба), или три (выпадение герба, надписи, герба) события. Тогда, в результате испытания могут выпасть для первого случая надпись, а для второго случая герб. Но это противоречит определению понятия полной группы событий, поскольку в первом случае появилось невозможное событие, не входящее в полную группу событий, состоящую по предположению из одного события, а во втором случае появилось два достоверных события, входящих в полную группу, состоящую по предположению, из трех событий, полученное противоречие и доказывает утверждение, что в сформулированной задаче полная группа событий состоит из двух событий .

Пример 1.1.8.

В ящике имеются два вида деталей: стандартные и нестандартные. Событие извлечения стандартной детали и извлечения нестандартной детали образуют полную группу событий.

Пример 1.1.9.

Стрелок производит по мишени два выстрела. События одного попадания, два попадания и промах образуют полную группу.

Пример 1.1.10.

Имеются два ткацких станка (две швейные машины). Анализируют работу станков (машинок). События: первый станок (первая машинка) работает, второй (вторая) не работает; второй станок (вторая машинка) работает, первый (первая) не работает; оба станка (обе машинки) работают, оба станка (обе машинки ) не работают – образуют полную группу.

Пусть в результате испытаний может появиться несколько событий;

А1, А2. . .Аn . События, одно из которых состоит в появлении хотя бы одного из событий А1, А2...Аn, другое состоящее в том, что ни одно из событий А1, А2...Аn не наступило, образуют полную группу событий.

Пример 1.1.11.

Анализируют работу двух ткацких станков (двух швейных машинок). События: хотя бы один из станков работает безобрывно (т.е. работает или первый станок, второй не работает; или второй станок работает, первый не работает; или оба станка работают) и оба станка не работают - образуют полную группу событий.

Пусть полную группу событий составляют события

(символы А1, А2; — означают соответственно появление событий A1 A2 и их непоявление: ). Из этих событий можно составить следующие группы событий: группа событий, состоящая в появлении только одного события; группа событий, состоящая в появлении хотя бы одного события: .

Рассмотрим алгебру событий. Для иллюстрации дальнейших рассуждений рассмотрим задачу о стрельбе по плоской мишени. В плоскости мишени введем прямоугольную систему координат XОY, каждому исходу опыта (попадание в определенную точку плоскости) поставим в соответствие координате этой точки (х,у).

Под событиями А1 и А2 будем подразумевать попадание в большой и малый круг (рис.1).

Суммой двух событий А1 и А2 назовем событие A1+А2 (или А1UА2), состоящее в появления событий А1 или события А2 или обоих этих событий. Тогда событием А1+А2 являются заштрихованные области на рис. 2а для несовместимых событий или на рис, 2б для совместимых событий.

Произведением А1·А2·А1·А2 (или А1∩А2) называется событие, состоящее в совместном проявлении /совмещении/ этих событий. Событие А1 А2 происходит тогда и только тогда, когда происходит и А1 и А2 — Событие А1 А2 изображено заштрихованной областью на рис.3.

Разностью A1\A2 называется событие, состоящее в том, что A1 произошло, а А2 не произошло (рис.4).

Пусть Ω достоверное событие, тогда событие =Ω\А называется событием, противоположным событию А (рис. 5).

Событие означает , что А не произошло.

Пусть Ø событие невозможное, тогда события А1 и А2 несовместимы, если А1А2=Ø.

Полезны следующие соотношения. Если А принадлежит В(А В), то очевидно А+В=В, в частности; А+А =А, если А В, то очевидно АВ=А и , в частности АА=А.

1.2. Относительная часть случайного события. Статистическое и классическое определения вероятности случайного события.

Определение:

Относительной частотой Р* случайного события А, называется отношение числа m* случаев появления данного события к общему числу n* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться событиеА.

Будем обозначать:

.

Пример 1.2.1.

Пусть по данному объекту из 6 одинаковых орудий произведен залп. Число попаданий равно 2. Событие А — попадание в цель. Относительная частота попаданий Р будет равно

.

Пример 1.2.2.

Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 100 случайно отобранных деталей.

Относительная частота появления нестандартных деталей

.

Опыт показывает, что существует постоянное число Р такое, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота Р* появления события А мало отличается от этого числа:

, .

Число Р называется вероятностью появления случайного события А. Это так называемое статистическое определение вероятности. В этом случае говорят, что относительная частота Р* сходится по вероятности к вероятности Р;это означает, что для произвольного ε>0, начиная с некоторого номера испытаний N, найдется n* такое, что хотя n*>N, неравенство |Р*-Р|<ε выполняется не для всех n*, а для подавляющего числа испытаний n*, т.е. сходимость по вероятности Р*→Р нельзя понимать как предельный переход т.к. последнее условие требует выполнения неравенства |Р*-Р|<ε для всех n*>N при соответствующем с>0.

Перейдем к классическому определению вероятности. Назовем каждый из возможных результатов испытаний, т.е. каждое событие, которое может наступить в испытании элементарным исходом. Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Пример 1.2.3.

При однократном бросании игральной кости возможные исходы — выпадание одного из чисел 1,2,3,4,5,6,. Таким образом, имеется шесть элементарных исходов.

Пример 1.2.4.

При одновременном бросании двух игральных костей возможные исходы — выпадание одного из чисел i на грани первой игральной кости сочетается с 6 числами j(1,2,3,4,5,6), выпадающими на гранях второй игральной кости, т.к. i принимает 6 значений (1,2,3,4,5,6), то общее число сочетаний ij состоит из 36 исходов.

Пример 1.2.5.

В урне n строго разноцветных шаров. Извлекаются подряд два шара. Возможные исходы - извлечение двух разноцветных шаров. Каждое из n первых извлечений сочетается c (n-1) вторым извлечением. Общее число сочетаний n (n-1) .

Определение:

Вероятностью случайного события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию случаев к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных событий. Символически вероятность записывается в виде Р (А).

.

Из определения вероятности вытекает следующее:

1. Вероятность достоверного события А равна единице, поскольку все элементарные исходы благоприятствуют этому событию;

.

2. Вероятность невозможного события А равна нулю, поскольку ни один элементарный исход не благоприятствует этому событию;

Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству:

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Напомним элементарные сведения из теории соединений. Рассмотрим соединения, состоящие из n элементов а₁,а₂,…,а_n.

Различают три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.

Перестановками Р_п из n элементов называются такие соединения, содержащие по n элементов и отличающиеся друг от друга порядком элементов а₁,а₂,…,а_n .

Подсчитаем количество перестановок из п элементов а₁,а₂,…,а_n.

Первый элемент в перестановке можно выбрать п способами (по числу элементов), второй элемент (п -1) способом, третий (п - 2) способами и т.д. Число способов, которыми можно выбрать два первых элемента, равно п (п -1), три первых элемента n (n-l) (n-2) и т.д.

Следовательно, число перестановок на п -элементов равно P_n=n(n-l)(n-2)....l=n!,

где п! произведение натуральных чисел от 1 до п .

Пример 1.3.1.

!= 4·32·1=24.

Размещениями из п элементов по m элементов (обозначается )называются такие соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных п элементов и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Подсчитываем количество размещений из п элементов;

.

Первый элемент в размещениях можно выбрать п-способами, последний (n-m+1) способами.

Следовательно, число размещений из n -элементов по m найдем из выражения:

.

Пример 1.3.2.

.

Сочетаниями из п -элементов no m называет соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из п -элементов и которые отличаются друг от друга элементами (по крайней мере, одним элементом).

Очевидно, , .

Пример 1.3.3.

.

Пример 1.3.4.

В партии из 10 деталей имеются 7 стандартных деталей. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей будет 4 стандартных.

Решение: Общее число возможных исходов испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 .

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию — среди шести взятых деталей 4 стандартных; 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталей способами, при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

· .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

.

Пример 1.3.5.

По цели осуществляется залп из двух орудий. Вероятность попадания в цель из первого орудия , из второго . Какова вероятность поражения цели ,если для этого достаточно хотя бы одного попадания.

Решение:

Промоделируем задачу схемой с урнами. В первой урне 10 шаров - из них 9 красных. Во второй урне 10 шаров - из них 7 красных. По условию задачи необходимо подсчитать вероятность извлечения двух шаров (по шару из каждой урны), хотя бы один из которых был бы красный. Найдем общее количество исходов. Одно извлечение из первой урны сочетается с 10 извлечениями из второй урны; т.к. всего таких извлечений из первой урны в 10 раз больше, то общее количество исходов - 100. Подсчитаем общее количество благоприятствующих исходов: 9 красных шаров из первой урны будут сочетаться с 10 шарами второй урны, что дает 90 исходов, и один не красный шар из первой урны будет сочетаться с семью красными шарами из второй урны, давая 7 исходов. Следовательно, общее количество исходов, в которых будет присутствовать хотя бы один красный шар — 97.

Искомая вероятность равна:

.

Пример 1.3.6.

Найдем в условиях предыдущей задачи вероятность только одного попадания в цель. Решение задачи опять промоделируем схемой урн.

В первой урне 10 шаров, из них 9 красных, во второй — 7 красных. По условию задачи необходимо найти вероятность извлечения двух шаров (по одному из каждой урны), чтобы только один из них был красный. Общее число исходов, как и в предыдущей задаче, — 100.

Число благоприятствующих исходов равно сумме числа сочетаний при извлечении 9 красных шаров из первой урны с 3 не красными шарами второй урны и 7 красных шаров второй урны с 1 не красным шаром первой урны, т.е. 9 3+1·7=34. Искомая вероятность .

Последнее условие можно записать в виде:

.

где А₁, А₂ — события , сводящиеся к извлечению красных шаров из первой и второй урн, соответственно события, сводящиеся к извлечению не красного шара из первой и второй урн, соответственно.

Пример 1.3.7.

Найдем в условиях предыдущей задачи вероятность одновременного попадания в цель. Решение задачи промоделируем схемой урн. По условию задачи необходимо найти вероятность извлечения двух красных шаров. Общее число исходов — 100. Число благоприятствующих исходов 9·7=63.

Искомая вероятность .

Пример 1.3.8.

Ткацкий станок (швейная машина) работает в течение 8 часов с остановками, вызванными обрывом нити. Общая продолжительность простоя станка составляет 1/6 часа. Найти вероятность обрывной работы станка.

Решение:

Предположим, что на протяжении 8 часов событие „обрыв нити" и событие „безобрывная работа" ткацкого станка равновозможны в любой момент времени. Тогда общее количество исходов пропорционально общему времени наблюдения за работой станка.

Количество исходов, приводящее к обрыву нити, пропорционально интервалу времени простоя станка из-за обрывов, т.е. 1/6 часа. Искомая вероятность обрывной работы станка

.

Работу, например 2-х станков, если заданы вероятности их работы и также можно промоделировать схемой урн.

Пример 1.3.9.

N человек извлекает из урны, наполненной, п билетами, один выигрышный билет. Найти вероятность извлечения выигрышного билета. Общее число исходов равно числу всевозможных последовательных очередностей извлечений билетов. Первый человек может извлечь билет п способами, второй(п-1) способами и т.д. Общее число последовательностей п! . Число благоприятствующих последовательностей когда уже нужный билет выбран, равно (п -1)!

Искомая вероятность .

Пример 1.3.10.

В первой урне п₁ шаров, из них m₁ красных. Во второй урне п₂ шаров, из них m₂ красных. Из второй урны в первую наугад переложен шар. Найти вероятность Р (А) извлечения из первой урны красного шара (событие А).

Для решения задачи воспользуемся классическим определением понятия вероятности случайного события

.

Подсчитаем полную группу событий: число п извлечений шара из первой урны, после того как туда переложен шар из второй урны. При каждом из п₂ переложенном шаре из второй урны возможно (n₁+1) извлечений шара из первой урны.

Следовательно, n = n₂ (n₁ + l), подсчитаем число m благоприятствующих исходов извлечения красного шара из первой урны, очевидно,

.

Искомая вероятность равна