Теоретические основы расчетов на устойчивость
Основы исследования устойчивости упругих стержневых систем заложил JI. Эйлер в 1744 г.
Статический метод расчета считается точным и позволяет найти возможные формы потери устойчивости и
критические нагрузки. Рассмотрим процесс деформирования прямолинейного упругого стержня, сжатого силой F(рис. 9.2, а). Стержень всегда может быть выведен из прямолинейного состояния каким-то случайным силовым воздействием. В этом случае возникает вопрос, вернется ли стержень в исходное прямолинейное состояние после окончания этого воздействия или перейдет в другое равновесное состояние с криволинейной осью. Для того чтобы найти значение силы F,при которой искривленное состояние будет равновесным, необходимо решить дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня
(9.1) |
где Е — модуль упругости материала; J— минимальный момент инерции стержня; у(х) — поперечное перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от начала координат. Граничные условия для решения этого уравнения при шарнирном опирании стержня имеют вид: при х = 0, у = 0 и при х = L, у = 0.
Для решения этого однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами необходимо найти корни характеристического уравнения . Оно имеет два мнимых корня, следовательно, общее решение принимает вид
где
.Граничные условия будут удовлетворены, если принять С2 = 0 и
,где n=1,2, 3, ... — количество полуволн упругой линии стержня (рис. 9.2, б). Тогда решение запишется как
(9.2) |
Здесь y* — стрела прогиба стержня.
Таким образом, равновесная искривленная форма стержня возможна толькопри определенных значениях силы следовательно, при
возможна только одна форма равновесного состояния стержня — прямолинейная. При больших значениях силы устойчивой формой равновесия стержня будет изогнутая. Значение силы Fc,при котором искривленная форма стержня является состоянием безразличного равновесия, считается критическим. При этом форме с большим количеством полуволн соответствует большее значение критической силы Fc.По понятным причинам в инженерных расчетах используют минимальное возможное для рассчитываемой системы значение критической силы при п = 1, т. е.
(9.3) |
Формы потери устойчивости конструкций соответствуют формам собственных колебаний. Причем, если конструкция имеет несколько степеней свободы, а значит, и несколько собственных форм, то минимальное значение критической силы будет соответствовать потере устойчивости по первой форме колебаний с низшей частотой.
Энергетический метод расчета устойчивости в общем случае является приближенным, так как построен на анализе энергетического баланса системы при заданной форме потери устойчивости. В основе энергетического (вариационного) метода лежит принцип возможных перемещений для упругой системы (3.1). Для того чтобы установить, при каком значении силы Fзаданная искривленная форма сжатого стержня окажется равновесной, вычислим потенциальную энергию упругой системы в этом положении и поставим условие .
Предположим, что упругая линия стержня описывается функцией
(9.4) |
(9.5) |
При этом сила F сместится на А (рис. 9.2). Потенциальная энергия системы равна работе всех сил при переводе системы из деформированного состояния в исходное (п. 3.1.1), поэтому работа внешней силы на возможном перемещении получается отрицательной:
Работа внутренних сил будет положительной (п. 3.1.3):
(9.6) |
Здесь М(х) — изгибающий момент в произвольном сечении стержня. Делитель 2 учитывает то, что в процессе перехода в начальное состояние изгибающие моменты не постоянны, а уменьшаются от М(х) до 0. В формуле (9.5) такого делителя нет, так как на перемещении А сила Fне меняет своего значения.
Изгибающие моменты определяются из уравнения изогнутой оси стержня
(9.7) |
Подставим это выражение в (9.6) и найдем потенциальную энергию упругой деформации
(9.8) |
Найдем связь стрелы прогиба стержня с перемещением его конца
. При изгибе стержня проекция его элемента на ось оказывается меньше длины этого элемента на
(рис. 9.2, в). Раскладывая
в ряд, с учетом малости деформаций найдем
Подставив сюда (9.4) и проинтегрировав по длине стержня, получим или
.Таким образом,
Из условия с учетом
находим значение силы, при котором принятая форма искривления стержня будет равновесной:
Значение Fcне зависит от , так как оно соответствует состоянию безразличного равновесия, при любом малом
> 0. Это выражение полностью совпадает с выражением
(9.3) , поскольку в качестве возможной формы потери устойчивости (9.4) была выбрана та же синусоида (9.2).