Теоретические основы расчетов на устойчивость

Основы исследования устойчивости упругих стержневых систем заложил JI. Эйлер в 1744 г.

Статический метод расчета считается точным и по­зволяет найти возможные формы потери устойчивости и

критические нагрузки. Рассмотрим процесс деформирова­ния прямолинейного упругого стержня, сжатого силой F(рис. 9.2, а). Стержень всегда может быть выведен из прямолинейного состояния каким-то случайным силовым воздействием. В этом случае возникает вопрос, вернется ли стержень в исходное прямолинейное состояние после окончания этого воздействия или перейдет в другое равно­весное состояние с криволинейной осью. Для того чтобы найти значение силы F,при которой искривленное состоя­ние будет равновесным, необходимо решить дифференци­альное уравнение изогнутой оси стержня

(9.1)

где Е — модуль упругости материала; J— минимальный момент инерции стержня; у(х) — поперечное перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от начала коорди­нат. Граничные условия для решения этого уравнения при шарнирном опирании стержня имеют вид: при х = 0, у = 0 и при х = L, у = 0.

Для решения этого однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами необходимо найти корни характеристического уравнения . Оно имеет два мнимых корня, следовательно, общее решение принимает вид где .Граничные условия будут удовлетворены, если принять С₂ = 0 и ,где n=1,2, 3, ... — количество полуволн упругой линии стержня (рис. 9.2, б). Тогда решение запишется как

(9.2)

Здесь y_* — стрела прогиба стержня.

Таким образом, равновесная искривленная форма стержня возможна толькопри определенных значениях силы следовательно, при возможна только одна форма равновесного состояния стерж­ня — прямолинейная. При больших значениях силы устойчивой формой равновесия стержня будет изогнутая. Значение силы F_c,при котором искривленная форма стерж­ня является состоянием безразличного равновесия, счита­ется критическим. При этом форме с большим количеством полуволн соответствует большее значение критической силы F_c.По понятным причинам в инженерных расчетах исполь­зуют минимальное возможное для рассчитываемой системы значение критической силы при п = 1, т. е.

(9.3)

Формы потери устойчивости конструкций соответствуют формам собственных колебаний. Причем, если конст­рукция имеет несколько степеней свободы, а значит, и не­сколько собственных форм, то минимальное значение кри­тической силы будет соответствовать потере устойчивости по первой форме колебаний с низшей частотой.

Энергетический метод расчета устойчивости в общем случае является приближенным, так как построен на ана­лизе энергетического баланса системы при заданной фор­ме потери устойчивости. В основе энергетического (вариа­ционного) метода лежит принцип возможных перемеще­ний для упругой системы (3.1). Для того чтобы устано­вить, при каком значении силы Fзаданная искривленная форма сжатого стержня окажется равновесной, вычислим потенциальную энергию упругой системы в этом положе­нии и поставим условие .

Предположим, что упругая линия стержня описывается функцией

(9.4)

(9.5)

При этом сила F сместится на А (рис. 9.2). Потенциальная энергия системы равна работе всех сил при переводе сис­темы из деформированного состояния в исходное (п. 3.1.1), поэтому работа внешней силы на возможном перемеще­нии получается отрицательной:

Работа внутренних сил будет положительной (п. 3.1.3):

(9.6)

Здесь М(х) — изгибающий момент в произвольном сечении стержня. Делитель 2 учитывает то, что в процессе перехода в начальное состояние изгибающие моменты не постоянны, а уменьшаются от М(х) до 0. В формуле (9.5) такого делителя нет, так как на перемещении А сила Fне меняет своего значения.

Изгибающие моменты определяются из уравнения изо­гнутой оси стержня

(9.7)

Подставим это выражение в (9.6) и найдем потенциаль­ную энергию упругой деформации

(9.8)

Найдем связь стрелы прогиба стержня с перемеще­нием его конца . При изгибе стержня проекция его элемента на ось оказывается меньше длины этого элемента на (рис. 9.2, в). Раскладывая в ряд, с учетом малости деформаций найдем

Подставив сюда (9.4) и проинтегрировав по длине стержня, получим или .Таким образом,

Из условия с учетом находим значе­ние силы, при котором принятая форма искривления стерж­ня будет равновесной:

Значение F_cне зависит от , так как оно соответствует состоянию безразличного равновесия, при любом малом > 0. Это выражение полностью совпадает с выражением

(9.3) , поскольку в качестве возможной формы потери устойчивости (9.4) была выбрана та же синусоида (9.2).