Классификация пластин и оболочек
Оболочки и пластины, которые являются основными несущими элементами оболочечных и пластинчатых конструкций (п. 1.1), представляют собой тела, у которых один размер (толщина) весьма мал по сравнению с другими. Поверхность, равноотстоящую от образующих поверхностей пластины или оболочки, называют срединной. Если эта поверхность плоская, то такой элемент называют пластиной, если же искривленная то — оболочкой.Закрепление пластин и оболочек обычно производится по линиям, поэтому они являются конструкциями бесконечное число раз статически неопределимыми. Методы аналитического расчета пластин и оболочек входят в раздел теории упругости и позволяют получать аналитические решения только для наиболее простых конфигураций, условий закрепления и нагружения. Наиболее надежным способом расчета пластинчатых и оболочечных конструкций следует считать МКЭ.
Имеются две типовые схемы загружения пластины:
• продольное, когда все нагрузки лежат в срединной плоскости; такая пластина называется балкой-стенкой (рис. 4.9, а);
• поперечное, когда нагрузки перпендикулярны к срединной плоскости (рис. 4.9, б—д).
В балке-стенке возникает плоское, постоянное по толщине напряженное состояние. Расчетные модели пластин при поперечном нагружении делят:
• на плиты или толстые пластины, для которых t> 0,2а (tи а — толщина и наименьший размер в плане);
• тонкие жесткие пластины, для которых t< 0,05а и <0,5t(
— максимальный прогиб);
• пластины конечной жесткости или мембраны.
В толстой пластине возникает объемное напряженное состояние. Модель тонкой жесткой пластины позволяет вычислить напряжения от изгиба, но игнорирует растягивающие или сжимающие мембранные напряжения, действующие в срединной плоскости как пренебрежимо малые. Мембранами считают весьма тонкие пластины,
в которых при поперечном нагружении возникают и изгибные напряжения, и значительные растягивающие (мембранные) напряжения. Причем мембранные напряжения являются превалирующими.
Теория оболочек включает две основные модели: безмоментные и моментные оболочки. Безмоментная модель описывает поведение оболочки, которая воспринимает поперечную нагрузку только за счет мембранных напряжений (растяжения), равномерно распределенных по толщине (как в воздушном шаре). Моментная модель учитывает как общее растяжение, так и изгиб оболочки.
4.4.2. Модели и примеры расчета пластин под действием поперечных нагрузок
Для проектирования тонкостенных конструкций наибольший интерес представляет модель тонкой жесткой пластины. Анализ напряженно-деформированного состояния такой пластины базируется на гипотезах Кирхгофа, подобных тем, которые используются в технической теории изгиба балок, т. е.:
• материальная нормаль (т. е. связанная с материалом пластинки), проведенная к срединной плоскости сквозь пластинку, остается не искривленной нормалью к деформированной срединной поверхности;
• нормальные напряжения в плоскостях, параллельных срединной, пренебрежимо малы.
На основании этих допущений выводятся зависимости интенсивности изгибающих моментов (т. е. моментов, отнесенных к единице длины сечения пластины) от формы упругой поверхности
Здесь цилиндрическая жесткость пластины (параметр, эквивалентный жесткости балки EJ). В пластине, как и в балке, чем больше кривизна поверхности
, тем больше изгибающии момент.
Нормальные напряжения от изгиба пластины линейно изменяются по толщине, и экстремальные значения, возникающие в поверхностных слоях, вычисляются как
Таким образом, зная упругую поверхность пластины , можно найти действующие в ней напряжения. Поиск
, и составляет основную проблему теории расчета пластин.
Далее даны аппроксимации некоторых решений, приведенных в табличной форме в книге Д. В. Вайнберг, Е. Д. Вайн- берг «Расчет пластин» (Киев: Буд1вельник, 1970). Приведенные решения дают погрешность относительно указанных табличных данных не более ±5 %.
1.
(4.16) |
![Классификация пластин и оболочек Классификация пластин и оболочек - student2.ru](/images/matematika/klassifikaciya-plastin-i-obolochek-592689-12.png)
Максимальные нормальные напряжения в центре пластины
(4.17)
Здесь q— распределенная нагрузка на пластину, Н/м2; d— меньший размер пластины. Кроме того, значительные касательные напряжения возникают в углах пластины. Прямоугольная пластина, жестко заделанная по контуру, загруженная равномерно распределенной нагрузкой по всей поверхности (рис. 4.9, в).
(4.18) |
Прогиб в центре пластины
Нормальные напряжения в центре пластины:
(4.19) |
![Классификация пластин и оболочек Классификация пластин и оболочек - student2.ru](/images/matematika/klassifikaciya-plastin-i-obolochek-592689-16.png)
(4.20) |
2. Круглая пластина радиусом R,толщиной t,шарнирно опертая по контуру, загруженная равномерно распределенной нагрузкой qпо всей поверхности (рис. 4.9, г).
4 wgDr4vwsN5n1J3rFYxkbwSUUMqOhjXHIpAx1i86EmR+QOPvwozORz7GRdjQnLne9XCSJks50xAut GfChxfqzPDgNoU7U7uW63O0rucHvlbWP75tnrS8vpvs7EBGn+AfDrz6rQ8FOlT+QDaLXcJveKEY5 mK9AMLBMFymISoNSCcgil/8/KH4AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YA AACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA7eYMIUYC AABRBAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAk6Gq BN8AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACgBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAA AKwFAAAAAA== " strokecolor="white [3212]">
(4.21) |
(4.22) |
3. Круглая пластина, жестко заделанная по контуру, загруженная равномерно распределенной нагрузкой qпо всей поверхности (рис. 4.9, д).
(4.23) |
(4.24) |
(4.25) |
4.4.3. Модели и примеры расчета оболочек
Напряженное состояние оболочки образуют два компонента.
1. Плоское напряженное состояние, постоянное по толщине. Эти напряжения называют цепными или мембранными. Для их вычисления используется модель безмомент- ной оболочки, т. е. тонкой оболочки, имеющей плавно изменяющуюся непрерывную поверхность, закрепления которой не препятствуют свободному перемещению ее краев по нормали к срединной поверхности.
Загружается оболочка равномерно распределенным давлением. В такой оболочке не возникают изгибающие и крутящие моменты, а также отсутствуют касательные напряжения. В реальных оболочечных конструкциях мембранные напряжения являются основными в тех частях, которые удалены от особенностей (днищ, ребер, патрубков и пр.).
2. Нормальные напряжения от изгиба оболочки, линейно изменяющиеся по ее толщине. Эти напряжения имеют существенное значение в зонах местного нагружения оболочек, вблизи ребер, мест изменения кривизны или толщины оболочки. Для их анализа используется моментная модель.
Для расчета мембранных напряжений в цилиндрической оболочке толщиной t, загруженной равномерно распределенным давлением р, рассмотрим равновесие единичного элемента (рис. 4.10, а, б). По боковым его граням действуют усилия ,направленные по касательной к срединной поверхности оболочки. Спроецируем эти усилия на нормаль и запишем условие равновесия:
.
Для малого угла
![Классификация пластин и оболочек Классификация пластин и оболочек - student2.ru](/images/matematika/klassifikaciya-plastin-i-obolochek-592689-26.png)
(4.26) |
![Классификация пластин и оболочек Классификация пластин и оболочек - student2.ru](/images/matematika/klassifikaciya-plastin-i-obolochek-592689-27.png)
Продольные напряжения вычисляются из условия равновесия по сечению трубы под действием продольной силы как
(4.27) |
(4.28) |
а в сферической оболочке радиусом R,загруженной внутренним давлением, получится
Если конец трубы, загруженной внутренним давлением, жестко защемлен (рис. 4.10, в), то вблизи этой заделки возникает зона концентрации нормальных напряжений от изгиба оболочки, который виден по неравномерности упругих перемещений стенки (показано штриховой лини
![]() |
ей). В этой области тангенциальные напряжения уменьшаются, а продольные — возрастают. Значения напряжений в заделке:
В этих выражениях знак минус соответствует наружной стороне оболочки, а плюс — внутренней. То есть продольные напряжения на внутренней поверхности возрастают примерно в четыре раза. Влияние заделки затухает на расстоянии примерно .
Аналогичный краевой эффект искривления оболочки возникает в местах соединения оболочки с ребрами (рис. 4.11, а) или упругим днищем (рис. 4.11, б), изменения толщины (рис. 4.11, в), формы или температуры оболочки. Значения местных напряжений в указанных случаях надежно определяются с помощью МКЭ.
4.5. Применение метода конечных элементов для анализа напряженно-деформированного состояния конструкций