Учет влияния неточностей изготовления и изменения температуры
Если конструкция или основание, на котором она должна быть закреплена, изготовлены с погрешностями, то при сборке может потребоваться деформировать конструкцию для компенсации допущенной погрешности. Это вызывает появление внутренних усилий и напряжений.
При изменении температуры конструкция стремится изменить свои размеры на величину
,
где а — коэффициент температурного расширения (для стали ); L— длина элемента конструкции;
— разность конечной и начальной температур.
Если избыточные связи препятствуют развитию температурных деформаций, то в конструкции возникают внутренние усилия.
Метод сил позволяет учесть влияние неточностей изготовления и температурные деформации. Для этого в систему канонических уравнений добавляются соответствующие перемещения, характеризующие погрешность изготовления и температурную деформацию (
)в направлении k-й избыточной связи. Система приобретает вид
(4.8)
Знаки перемещений и
в уравнениях (4.8) определяются следующим образом. Если для восстановления отброшенной связи точку конструкции следует переместить в направлении, противоположном принятому направлению неизвестной силы, то данное перемещение подставляется в уравнения (4.8) со знаком плюс.
При решении канонических уравнений (4.8) в матричной форме следует принимать
Пример 4.3. Произведем расчет Г-образной рамы, загруженной силой F(рис. 4.5, а). Стойка рамы имеет момент инерции J1ригель — J2- В расчете следует учесть то, что по сравнению с проектным состоянием в системе имеется погрешность изготовления, в результате которой шарнирно-подвижная опора смещена вниз на (рис. 4.5, б). Кроме того, в процессе эксплуатации температура рамы
![]() |
повысится по сравнению с температурой изготовления на , что приведет к удлинению ее элементов. При этом удлинение горизонтального ригеля может происходить свободно, а температурному удлинению стойки на
препятствует опора. Необходимо построить эпюры распределения изгибающих моментов, считая, что смещения
и
весьма малы по сравнению с линейными размерами конструкции.
1. Кинематический анализ показывает, что система один раз статически неопределима: i = 3- 2- 2- 0- 3- 2- l = -l.
2. Основная система получается путем замены шарнирно-подвижной опоры неизвестной силой (рис. 4.5, в).
3. Каноническое уравнение в данном случае имеет вид
Поскольку для соединения конца ригеля со смещенной опорой он должен быть смещен вниз на расстояние , т. е. в сторону, противоположную направлению силы Х1; то указанные смещения должны быть подставлены в каноническое уравнение со знаком плюс.
4. Для вычисления коэффициентов канонического уравнения следует построить эпюры изгибающих моментов от единичной силы
и от внешней нагрузки (MF)(рис. 4.5, г, д). Моменты в заделке имеют значения:
Единичное перемещение по формуле (4.3) найдем с использованием метода Верещагина как
Аналогичным образом вычисляется грузовое перемещение по (4.4):
5. Значение неизвестного усилия находится из канонического уравнения как
6. Результирующая эпюра изгибающих моментов строится согласно (4.6) как (рис. 4.5, е)
Изгибающий момент в заделке . Если значение
получится отрицательным, то оно откладывается слева от стержня (как и
).Момент в узле
Пример 4.4. Проанализировать опорные давления четырехстоечного портала, загруженного центральной вертикальной силой Gи силой F,приложенной на вылете R(рис. 4.6, а). Учесть погрешность основания .
1. В кинематическом анализе этой системы всю конструкцию можно считать одним блоком, так как она не имеет замкнутых контуров и шарнирных соединений. Согласно (2.3), получим
т. е. система один раз внешне статически неопределима.
2. Основную систему образуем путем удаления одной вертикальной связи в опоре С. Неизвестное усилие в отброшенной связи обозначим Х1 (рис. 4.6, б).
3. Каноническое уравнение запишем с учетом возможной высотной погрешности основания под опорой С согласно (4.8) как
При этом положительные значения соответствуют впадине под опорой С.
4. Для вычисления коэффициентов канонического уравнения следует построить эпюры изгибающих моментов от единичной силы M1 и от внешней нагрузки MF.
Опорные реакции, возникающие от действия единичнойсилы Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 4.6, б. Значения максимальных изгибающих моментов в центральном узле
Здесь
половина длины диагонали.
Опорные реакции, возникающие под действием заданных нагрузок Gи F,вычисляются из условий равновесия системы (рис. 4.6, в):
Характер эпюры изгибающих моментов показан на рис. 4.6, в. Максимальный изгибающий момент в корне стрелы и вертикальной башне .Моменты в месте крепления ног к центральному узлу:
Единичное перемещение вычисляется с использованием метода Верещагина (п. 3.2.3) по четырем участкам. В результате получается
Где — момент инерции горизонтального ригеля.
Целесообразно ввести понятие коэффициента жесткости портала ср = 1/511 (Н/м). В порталах другой конфигурации он может быть вычислен по такой же методике или определен с помощью МКЭ.
Грузовое перемещение вычисляется путем перемножения эпюрM1 и MFметодом Верещагина:
5. Неизвестное усилие, вычисленное из решения канонического уравнения,
Опорные реакции в заданной системе найдем как суммы:
(4.10)
Данный результат получен в предположении, что все связи системы являются двусторонними, т. е. могут создавать как положительные, так и отрицательные реакции.
6. Проанализируем полученный результат. Найдем угол поворота стрелы ф, при котором реакция опоры Аг будет максимальной при отсутствии погрешности основания Для этого продифференцируем выражение для Az по углу
и приравняем производную нулю. В результате получится
Таким образом, значение Az будет максимальным при (рис. 4.6, г), т. е. когда стрела перпендикулярна к диагонали опорной базы портала:
7. Рассмотрим влияние погрешности основания на опорные реакции. При этом будем предполагать, что вертикальные связи портала с основанием односторонние, т. е. представляют собой контакт колеса с рельсом. В этом случае при уменьшении какой-либо реакции до нуля контакт с основанием нарушается и колесо перестает взаимодействовать с рельсом.
Значения реакций опор в положении стрелы на угол вычисляются с учетом полученного выше результата как
(4.11) |
Таким образом, если опораС смещена вниз (погрешность ), то реакции Аzи Сz уменьшаются, а BzиDz— увеличиваются. При
(4.12) |
![]() |
Рис. 4.7. Зависимости опорных давлений от погрешности основания |
произойдет отрыв колеса С от рельса. В такой ситуации опорная схема портала становится статически определимой и опорные реакции определяются по формулам (4.9).
Если же погрешность , т. е. колесо наехало на возвышение, то реакции Аz и Сz возрастают до тех пор, пока колесоВ или Dне оторвется от рельса. Произойдет это при условии, что
(4.13) |
Как видно из этих формул, . Характер графиков, демонстрирующих изменение опорных реакций в зависимости от погрешности основания, показан на рис. 4.7.