Расчет при действии неподвижной нагрузки

В данном разделе рассмотрены методы определения опор­ных реакций и внутренних усилий, возникающих в статически определимых стержневых системах под действием неподвижных статических нагрузок.

В сечении стержневого элемента пространственной конструкции в общем случае возникают шесть внутренних силовых факторов: продольная сила S,поперечные (перерезывающие) силы и ,изгибающие моменты и и крутящий момент . В элементах плоских систем возни­кают только три вида внутренних усилий: продольная сила S,поперечная сила Q_zи изгибающий момент .

Рассмотрим процедуру определения внутренних усилий на простом примере плоской рамы (рис. 2.7, а). Расчет на­чинается с кинематического анализа. Согласно (2.2) для этой модели s = 3,u = 0,h = 2(два жестких соединения стержней в узлах), r = 3, следовательно, =3 3-2 0-3 2-3 = 0. То есть система геометрически неизменяема и статически определима. Анализ структуры системы (п. 2.1.2) подтверждает этот вывод.

Все силовые факторы в статически определимых системах могут быть найдены из условий равновесия. Для плос­кой конструкции или ее элемента можно составить три уравнения статики, которые представляют собой суммы проек­ций всех сил на какую-либо ось (например, ) или сумму моментов относительно какой-либо оси (например, ). Как правило, расчет начинают с определения опорных реакций. Они вычисляются из уравнений равновесия для системы в целом. Найдем сумму моментов относительно точкиА, считая положительными моменты, направленные против часовой стрелки:

Отсюда находим опорную реакцию Аналогичным образом из уравнений моментов относительно точкиВ находим реакцию , а из сумм проекций всех сил на ось х — реакцию . В результате получается

Изгибающий момент в любом сечении равен сумме моментов всех внешних усилий (сил, моментов, распределенных нагрузок, опорных реакций), действующих на отсеченную часть, взятых относительно центра тяжести

этого сечения. При этом не имеет значения, какую отсеченную часть рассматривать, левую или правую. В строительной механике знак изгибающего момента не определяется, а эпюра строится на растянутом волокне стержня. То есть эпюра строится под стержнем, если сумма моментов слева отрицательна или справа положительна. Такой прием обеспечивает большую информативность эпюры, особенно для рамных конструкций, для которых строится совокупность эпюр для горизонтальных, вертикальных, наклонных эле­ментов. Расположение растянутого волокна ориентирует конструктора на дальнейшие действия. В растянутой области следует избегать концентраторов напряжений, если есть опасность усталостного или хрупкого повреждения, а в сжатой — надо производить проверку элементов балки на местную устойчивость.

Изгибающие моменты в сечениях на участке В-1

Реакция В_у создает положительный момент относительно сечения х_1? следовательно, растянутым будет волокно стержня, расположенное с левой (или нижней) стороны. Значит, с этой же стороны строится эпюра моментов (рис. 2.7, б).

На участке 1-2 найдем изгибающий момент в сечении на расстоянии х₂ от точки 1, рассматривая левую отсеченную часть:

Из схемы видно, что на этом участке также нижнее волокно растянуто, и эпюру строим под стержнем (рис. 2.7, в). В точке 1 должно получиться . Подставляя в полученные выражения соответствующие значения х^ и х₂, имеем:

при

При

Момент на участке 2-А найдем, также рассматривая левую отсеченную часть:

В точке 2 также получится . Построенная таким образом по участкам эпюра моментов показана на рис. 2.7, в.

Перерезывающая сила равна сумме проекций всех сил, действующих на отсеченную часть, на главную попереч­ную ось данного сечения (рис. 2.7, б, ось г/Д. Если рассмат­ривается сумма проекций сил, действующих на левую отсе­ченную часть, то сумма берется со знаком «плюс», если же на правую часть — то со знаком «минус»:

Пользуясь полученными выше опорными реакциями, можем построить эпюру перерезывающих сил. На участке В-1

Далее получим остальные участки эпюры перерезыва­ющих сил (рис. 2.7, г):

Правильность построения эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил можно проверить по известному соотношению

Продольная сила равна сумме проекций всех сил, действующих на отсеченную часть, на продольную ось рассеченного стержня, направленную от сечения в сторону рас­сматриваемой отсеченной части. Если результат получа­ется положительный, то в сечении действует растяжение.

Таким образом, продольные силы (рис. 2.7, д):

Обе наклонные стойки сжаты.