Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП
Пусть задана стандартная математическая модель задачи с двумя неизвестными:
(1.7)
(1.8)
Нахождение решения этой модели на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы.
1. В плоскости х10 х2 строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (1.7) модели знаков неравенств на знаки точных равенств.
2. Находят полуплоскости, определенные каждым неравенством системы.
3. Находят выпуклый многоугольник решений всей системы (1.7).
4. Строят нормальный вектор целевой функции , причем, начало вектора совмещают с началом координат и строят прямую
.
5. Передвигают эту прямую в направлении вектора , в результате либо находят вершину или отрезок, в которой целевая функция принимает наибольшее значение, либо устанавливают неограниченность сверху этой функции на множестве допустимых решений.
6. Если функция ограничена, то определяют и вычисляют значение функции в этой точке
.
При геометрической интерпретации задач ЛП могут встретиться случаи, изображенные на рис. 2.1. - 2.4.
Рис. 2.1. задача ЛП имеет единственное решение .
Рис. 2.2. задача ЛП имеет бесчисленное множество решений, т.к. целевая функция достигает максимума на отрезке [М; N].
Рис. 2.3. задача ЛП не имеет решения, т.к. функция неограниченна сверху.
Рис. 2.4. задача ЛП не имеет решения, т.к. система (1.7) несовместна.
![]() |
Рис. 2.1. Рис. 2.2.
Рис. 2.3. Рис. 2.4.
Пример. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья S1 , S2 , S3. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице 2.1.
Прибыль от реализации одного изделия каждого вида равна с1и с2 , а общее количество сырья вида равно
,
. Считая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий будет максимальной.
Сырье | А | В | Запасы |
S1 | а11 = 12 | а12 = 4 | в1 = 300 |
S2 | а21 = 4 | а22 = 4 | в2 = 120 |
S3 | а31 = 3 | а32 = 12 | в3 = 252 |
Прибыль | с1 = 30 | с2 = 40 |
Решение. Обозначим через х1 и х2количествоизделий первого и второго вида в плане предприятия. Поскольку производство продукции ограничено только сырьем каждого типа Si, то получим условия:
12х1 + 4х2 £ 300,
4х1 + 4х2 £ 120, (1)
3х1 +12х2 £ 252,
Переменные х1 и х2 не могут быть отрицательными по смыслу задачи.
Вычислим прибыль от реализации продукции и получим:
![]() |
Итак, мы получили стандартную модель с двумя переменными.
Решим задачу линейного программирования геометрически, придерживаясь плана, приведенного ранее.
1. Строим прямые l1, l2, l3:
l1 : 12х1 + 4х2 = 300, по двум точкам А1 (25, 0) и В1 (0; 75);
l2 : 4х1 + 4х2 = 120, по двум точкам А2 (30; 0)и В2 (0, 30);
l3 : 3х1 + 12х2 = 252, по двум точкам А3 (84, 0 )и В3 (0, 21).
Обратимся к неравенствам (1). Отметим те полуплоскости, которые им удовлетворяют. Учтем на чертеже и неотрицательность переменных х1 и х2,и получим многоугольник ОВ3ЕСА1 решений данной системы неравенств (см. рис. 2.5).
2. Построим нормальный вектор и прямую (l): 30х1+40х2 = 0.
3. Передвигая прямую в направлении вектора , получим, что в точке Е (12, 18) целевая функция будет иметь наибольшее значение. Координаты этой точки находим как координаты точки пересечения прямых
и
, решая систему уравнений:
4. Запишем окончательный ответ:
![]() |
Рис. 2.5.
Наибольшая прибыль будет равна 1080 (у.е).