Алгебра кос (можно как расширение к вопросу36)
Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (см. рис. 4): нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы верхние – второй).
![]() | ![]() | ![]() ![]() |
К | L | M = K × L |
Рис. 4. Умножение кос |
Такое умножениеобладает рядом свойств обычного умножения чисел: выполняется ассоциативный закон
К1(К2К3)=(К1К2)К3,
есть аналог единицы – тривиальная коса К2 = 1, для которой
.
Умножение кос не коммутативно.
Есть и аналог деления:у каждой косы К имеется обратная коса : для нее
.
Рассмотрим данную операцию на рисунке 5.
![]() | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
К | К-1 | К × К-1 = 1 |
Проблему классификации кос можно решать с помощью
основных соотношений теории кос:
Тривиальные соотношения
SjSj- 1 = Sj-1S j = 1 , Sj.1=1 .Sj=S j(j=1, 2,…, n-1).
Соотношения далекой коммутативности
SiS j =SjSiпри i-j 2 (i,j=1,2,…, n-1).
3. Соотношения сплетения SiSi+1SiSi+1 (i=1, 2, …, n-2).
Доказательство.
Любая коса представляется в виде произведения элементарных кос S1,S2,…,Sn-1и обратных к ним,например,
K1=S1S2-1S1S2-1S1S2-1., K3=S2S1S3-1S1-1S3S2-1S1S3S1-1S3-1.
Узел - замкнутая кривая без самопересечения,узел можно описать двумерной диаграммой.
Конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве называетсязацеплением.
Два узла называются эквивалентными, если узел, сжимая, растягивая, двигая в пространстве (без разрывов и склеек), можно превратить в другой.
Главной проблемой теории узлов является поиск инварианта, препятствующего распутыванию.
Теорема.
Любой узел является замыканием некоторой косы.
Возьмём косу, изогнём её дугой и склеим конец с началом, получится узел. Но замыкание разных кос не всегда приводит - к разным узлам. Например, коса из трёх нитей не совпадает с косой из двух нитей, но при замыкании тоже даёт узел "трилистник"(рис.3).
рис.3
рис.4.
Теорема Рейдемейстера
Два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда от диаграммы одного узла к диаграмме другого можно перейти с помощью конечного числа двумерных элементарных операций 1,
2,
3 (рис.4).
Можно ли по любой паре диаграмм узнать, эквивалентны узлы или нет, можно ли их распутать?
Оказывается можно, для каждого узла и зацепления можно построить соответствующий ему инвариант. Инварианты позволяют не только различать неодинаковые узлы и отличать узлы от незаузленных петель, но и классифицировать косы. По-разному деформированным вариантам одного и того же узла отвечает один и тот же инвариант; узлы, соответствующие разным инвариантам различны. Но два узла с одним и тем же инвариантом необязательно эквивалентны. Если инвариант узла не равен инварианту тривиального узла, то данный узел не может быть тривиальным и его нельзя распутать. Рассмотрим самые известные инварианты и вычислим их для некоторых зацеплений.
Многочлен Александера.
Этот многочлен был открыт американским математиком Александером в 1928 году. Он строится в соответствии с числом пересечений каждого вида, имеющихся на диаграмме узла. Например, узлу «трилистник» соответствует многочлен ΔK(t)=t–1–1/t.
Многочлен Конвея
РL (х) - это многочлен от переменной х с целыми коэффициентами.
Теорема.
Для каждого узла или зацепления Lполином РL(х) существует и однозначно определяется следующими тремя аксиомами.
Аксиома 1.
Эквивалентным диаграммам L и L’ отвечает один и тот же полином: РL(х)=РL’(х).
Аксиома 2.
Тривиальному узлу отвечает полином, равный 1:Ро(х)==1.
Аксиома 3.
Трем зацеплениям L+, L-, L°, которые всюду одинаковы, кроме кружочка, где они выглядят так, как показано на рисунке 5, отвечают полиномы, связанные соотношением
РL+(х)-РL-(х)=х.РL0(х).
рис.5
Теорема.
Для распавшегося зацепления РL (х) =О.
Вычислим полиномы Конвея для некоторых узлов и зацеплений.
а) Для двух незацепленных окружностей.
L+- диаграмма тривиального узла с одной двойной точкой, L°- диаграмма двух незацепленных окружностей. Из аксиом I и II следует, что РL+(х) = 1.
Если заменить двойную точку диаграммы L+на противоположную, а затем двойную точку уничтожить (аксиома III), то мы получим диаграмму тривиального узла L-и пару незацепленных окружностей L°.
По аксиоме III, получим РL+(х)-РL-(х)=х.РL0(х),1—1=х.РL0(х),РL0(х)=0.
б) Для двух зацепленных окружностей (правое зацепление):
Применяя аксиому III к правой двойной точке, получаем диаграмму L-, эквивалентную паре незацепленных окружностей, и тривиальный узел (с одной двойной точкой) L°.
Используя аксиому I и предыдущий подсчет, получаем РL-(х)=0.
Затем по аксиомам I и II получаем РL0(х)=1.
Подставляя эти значения в соотношение аксиомы III, получим РL+(х)=х.Для левого зацепления полином равен –х
в) Для узла «трилистник»
РL(х)=1,т.к. распутывается в тривиальный узел.
РL0(х) =- х, т.к. распутывается в левое зацепление двух окружностей, значит, РL (х) = 1 - х2 по аксиоме 3.
г) Для восьмерки.
РL (х) = х, так как распутывается в правое зацепление двух окружностей.
РL (х) = 1, так как распутывается в тривиальный узел.
Поэтому PL’ (x) = 2х по аксиоме 3.
д) Для проколотой восьмеркиРL (х) = х, так как распутывается в правое зацепление двух окружностей.
Пусть зацепление L1 = L0.Тогда РL1(х)= 1. РL10(х) = х, так как распутывается в правостороннее зацепление двух окружностей.
Значит, РL1 (х) = х2 + 1. В итоге РL (х) = х3+ 2х .
Даже небольшое число проведенных вычислений показывает, что полином Конвея — достаточно тонкий инструмент, позволяющий различать узлы и зацепления и устанавливать их нетривиальность. Посчитав, например, полиномы трилистника, восьмерки, и убедившись, что эти полиномы не равны 0 или 1, мы доказали, что их нельзя распутать. Разумеется, эти доказательства верны только в том случае, если уже установлен факт существования и единственности полинома Конвея для каждого узла и зацепления.