О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Езначение μА(х),либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.
Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.
Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.
Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц
x1 | высота лба | низкий | высокий |
x2 | профиль носа | курносый | горбатый |
x3 | длина носа | короткий | длинный |
x4 | разрез глаз | узкие | широкие |
x5 | цвет глаз | светлые | темные |
x6 | форма подбородка | остроконечный | квадратный |
x7 | толщина губ | тонкие | толстые |
x8 | цвет лица | темный | светлый |
x9 | очертание лица | овальное | квадратное |
Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает μA(х) ϵ [0, 1], формируя векторную функцию принадлежности { μA(х1), μA(х2),…, μA(х9) }.
При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μлысый (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)
Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, μA(хi) = ωi, i= 1, 2, ..., n,то попарные сравнения можно представить матрицей отношений А = { aij}, где aij= ωi/ωj (операция деления).
На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали aij= 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот последний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw= λmaxw, где λmax— наибольшее собственное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.
Можно отметить еще два подхода:
· использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа – см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
· использование относительных частот по данным эксперимента в качестве значений принадлежности.
Операции над нечеткими множествами
Логические операции
Включение.Пусть А и В — нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если
Обозначение: А⊂ В.
Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А⊂ В,говорят, что В доминирует А.
Равенство.А и В равны, если
Обозначение: А = В.
Дополнение.Пусть М = [0, 1], А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если
Обозначение:
Очевидно, что (дополнение определено для М = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченногоМ).
Пересечение. А ⋂ В— наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в Аи В:
Объединение.A∪В — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:
Разность. с функцией принадлежности:
Дизъюнктивная сумма
А⊕ В = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂ ̅B) ∪ ( ̅A ⋂ B)
с функцией принадлежности:
Примеры.Пусть
Здесь:
1) А ⊂ В, т. е. А содержится в B или Bдоминирует А С несравнимони с A, ни с В, т.е. пары {А, С} и {А, С} — пары недоминируемых нечетких множеств.
2) A≠ B ≠ C
3) ̅A = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; ̅B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 +0/x4.
4) А ⋂ В = 0,4/x1+ 0,2/x2+ 0/x3+ 1/х4.
5) A ∪ В = 0,7/x1+ 0,9/x2+ 0,1/x3+ 1/x4.
6) А - В = А⋂ ̅В =0,3/x1+ 0,l/x2+ 0/x3+ 0/x4;
В- А= ̅А⋂ В=0,6/x1+ 0,8/x2+ 0,l/x3+ 0/x4.
7) А ⊕ В = 0,6/x1+ 0,8/x2+ 0,1/x3+ 0/x4.
Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения μА(х), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).
Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций:
α— нечеткое множество А; б — нечеткое множество̅А, в — А⋂ ̅А; г—A ∪ ̅А
На рис. 1.3α заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3б, в, гданы ̅А, А ⋂ ̅A,A U ̅А.
Свойства операций∪ и⋂
Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем
случае:
A⋂̅A ≠∅, A ∪ ̅A ≠ E
(что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).
Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций maxи min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».
Треугольные нормы и конормы
Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой(t-нормой) называется бинарная операция (двуместная действительная функция)
удовлетворяющая следующим условиям:
1. Ограниченность: .
2. Монотонность: .
3. Коммутативность: .
4. Ассоциативность: .
Примеры треугольных норм
min(μA,μB)
произведение μA·μB
max(0, μA+μB - 1).
Треугольной конормой (сокращенно -конормой) называется двухместная действительная функция
,
удовлетворяющая следующим условиям:
1. Ограниченность: .
2. Монотонность: .
3. Коммутативность: .
4. Ассоциативность: .
Треугольная конорма является архимедовой, если она непрерывна
и для любого нечеткого множества выполнено неравенство
.
Она называется строгой, если функция строго убывает по обоим аргументам.
Примеры t-конорм
max(μA,μB)
μA+μB-μA·μB
min(1, μA+μB).
Примерами треугольных конорм являются следующие операторы:
Треугольная норма T и треугольная конорма S называются дополнительными бинарными операциями, если
T(a,b) + S(1 − a,1 − b) = 1
для .
Наибольшей популярностью в теории Заде пользуются три пары дополнительных треугольных норм и конорм.
1) Пересечение и объединение по Заде:
TZ(a,b) = min{a,b}, SZ(a,b) = max{a,b}.
2) Пересечение и объединение по Лукасевичу:
.
3) Вероятностное пересечение и объединение:
Операторы дополнения
В теории нечетких множеств оператор дополнения не является единственным.
Помимо общеизвестного
,
существует целый набор операторов дополнения нечеткого множества.
Пусть задано некоторое отображение
.
Это отображение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются следующие условия:
(1)
(2)
Если кроме этого выполняются условия:
(3) — строго убывающая функция
(4) — непрерывная функция
то она называется строгим отрицанием.
Функция называется сильным отрицанием или инволюцией, если наряду с условиями (1) и (2) для нее справедливо:
(5) .
Приведем примеры функции отрицания:
Классическое отрицание: .
Квадратичное отрицание: .
Отрицание Сугено: .
Дополнение порогового типа: .
Будем называть любое значение , для которого
, равновесной точкой. Для любого непрерывного отрицания существует единственная равновесная точка.