Контрольная работа № 2. Семестр 2

Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2.

При выполнении контрольной работы № 2 необходимо изучить ос­новные понятия и определения функции нескольких переменных. Нау­чится вычислять частные производные. Научиться вычислять двойные ин­тегралы через повторные. Изучить теорию числовых рядов. Необходимо знать основные признаки сходимости числовых рядов. Уметь вычислять радиус сходимости и, пользуясь им, интервал сходимости степенного ряда. Изучить теорию дифференциальных уравнений и научиться находить ре­шения дифференциальных уравнений в простейших случаях. Изучить ос­новные понятия теории вероятности: алгебру случайных событий, вероят­ность случайного события, условную вероятность случайного события, не­зависимость двух случайных событий. Изучить основные понятия, связан­ные со случайными величинами. Уметь вычислять по известному закону распределения математическое ожидание и дисперсию.

Ниже приведены примеры выполнения заданий.

Задание № 1.Найти неопределенные интегралы, правильность результатов проверить дифференцированием.

Пример. Найти неопределенные интегралы.

а) . Применим подстановку . Тогда

. Откуда . Проверим этот результат дифференцированием:

;

б) . Применим формулу интегрирования по частям . Пусть , , тогда , , и . К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям. Пусть , , , . Таким образом,

.

Проверим этот результат дифференцированием:

или ;

в) . Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой можно разложить . Тогда подынтегральная функция раскладывается на сумму простейших дробей . Откуда, приравнивая числители, находим . Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства, получим систему из трех уравнений:

Тогда . Вычислим отдельно последний интеграл . Используя равенства , получаем, что

. Отсюда, окончательно, получаем интеграл ;

г) . Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку , , тогда

.

Задание № 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример. . Решение: Согласно формуле . Тогда имеем

. Интеграл сходится.

Задание № 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L

Пример. . Объём тела вращения находим по формуле: .

Задание № 4. Исследовать сходимость числового ряда . Пример 1. . Для этого ряда применим признак Даламбера:

, , . Тогда .

Тогда по признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 2. . Применим интегральный признак Маклорена - Коши, составив функцию . Так как на интервале эта функция и с ростом монотонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом: . Данный интеграл сходится, так как

,

поэтому сходится и данный ряд.

Задание № 5. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Пример. . Коэффициенты ряда: , . Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:

.

Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравен­ству . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если , то получим обобщенный гармонический ряд , который сходится, так как . Если , то получим знакопеременный ряд , который сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Задание № 6. Найти частные производные 1-го порядка.

Пример. . Находим частые производные

, .

Задания № 7 и № 8. Решить задачу по теории вероятности.

Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач:

10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной задаче на каждую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно . Число билетов, которое знает студент, равно . Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равновероятные события, получаем вероятность сдачи зачета:

.

Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по диффе­ренциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна .

Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие ) равна , вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие )равна , вероятность получить задачу по интегральному исчислению (событие ) равна . Если событие означает, что задача решена, то условные вероятности решить задачу при условии, что это задача по пределам, дифференциальному или интегральному исчислению, соответственно равны:

; ; .

События , и попарно несовместны и одно из них всегда наблю­даемо при любом исходе. Тогда по формулеполной вероятности

находим вероятность сдачи зачета

.

Задание № 9. Заданы математическое ожидание т и среднее квадратичное отклонение s нормально распределенной случайной величины х. Найти:

1) вероятность того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b);

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше d.

Пример. m =15, s = 2, a=16, b = 25, d = 4.

1) воспользуемся формулой:

, где - функция Лапласа: . Её значения находим из статистических таблиц;

2) воспользуемся формулой:

.

Задание № 10.Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным, приведенным в корреляционной таблице.

Пример

Y	X	ny
nx						N=100

Решение. Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С₁=30 и С₂= 36 (каждая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).

v	u	nv
-2	-1
-2
-1
nu						N=100

Найдем ,

.

Найдем вспомогательные величины

Найдем

, .

Составим расчетную таблицу.

u\v		-2			-1												vU
			-8			-6
-2																-14
	-8			-12
						-8
-1																-8
				-8			-10
V		-8			-20			-6
uV

Пояснения к составлению таблицы:

1. Произведение частоты n_uv на варианту u записывают в правом верхнем углу клетки, содержащей значение частоты.

2. Складывают все числа, помещенные в правых верхних клеток одной строки, и их сумму помещают в клетку этой же строки «столбца U».

3. Наконец, умножают варианту v на U и полученное произведение записывают в соответствующую клетку « столбца vU».

4. Сложим все числа « столбца vU», получают сумму åvU, которая равна искомой сумме . Например, для нашей таблицы искомая сумма =82.

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам.

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции: . Найдем шаги h₁ и h₂ (разности между любыми двумя соседними вариантами): h₁=25-20=5; h₂=26-16=10.

Подставив найденные величины , получим искомое уравнение прямой линии регрессии У на Х:

Темы практических занятий