Индикатриса Дюпена. Типы точек на поверхности.

1.Дана поверхность

a) Найдите в начале координат уравнение индикатрисы Дюпена.

b) Вычислите в начале координат радиус кривизны нормального сечения, касательная к которому составляет угол с осью .

2.Поверхность есть часть фигуры, образованной главными нормалями (бинормалями) пространственной линии. Найдите полную кривизну поверхности

3.Найдите эллиптические, гиперболические и параболические точки на торе.

4.Исследуйте характер точек на поверхности, полученной вращением следующих линий: синусоида вращается вокруг оси Найдите на поверхности вращения точки округления.

5.Исследуйте характер точек на гиперболическом параболоиде.

6.Покажите, что все точки поверхности параболические.

7.Для того чтобы точка поверхности была точкой округления, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия Докажите.

Практическое задание №8

Линии кривизны.

1. Найдите линии кривизны поверхности:

2. Найдите линии кривизны прямого геликоида.

3. Найдите линии кривизны эллиптического параболоида.

4. Покажите, что координатные линии поверхности являются линиями кривизны.

5. Самостоятельная работа.

Практическое задание №9

Сопряженные линии на поверхности.

1. Составьте дифференциальные уравнения семейств линий на поверхности, образующих сопряженную сеть с семейством координатных линий

2. Линии лежащие на геликоиде образуют сопряженную сеть. Докажите.

3. Найдите линии, сопряженные семейству линий на косом геликоиде

4. Для того, чтобы координатные линии на поверхности были асимптотическими линиями, необходимо и достаточно, чтобы Докажите.

5. Найдите асимптотические линии катеноида

6. Найдите асимптотические линии прямого геликоида.

7. Найдите асимптотические линии однополосного гиперболоида.

8. Поверхность называется минимальной, если её средняя кривизна тождественно равна нулю. Покажите, что на минимальной поверхности сеть асимптотических линий ортогональна, т.е. во всех точках линии одного семейства ортогональны линиям другого.

Практическое задание №10

Линейчатые поверхности.

1. Напишите неявное уравнение цилиндрической поверхности с направляющей линией и прямолинейными образующими, параллельными вектору

2. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к прямому геликоиду Исследуйте поведение нормали при смещении ее вдоль образующей.

3. Пусть поверхность есть часть фигуры, образованной касательными к линии Напишите уравнение касательной плоскости в произвольной точке поверхности. Исследуйте её поведение при смещении точки касания вдоль прямолинейных образующих поверхности.

4. Докажите, что линейчатая поверхность является развертывающейся тогда и только тогда, когда

5. Пусть S – развертывающаяся поверхность, которая представляет собой часть фигуры, состоящей из касательных к некоторой неплоской линии (ребро возврата). Докажите, что касательная плоскость в произвольной точке поверхности S совпадает с соприкасающейся плоскостью ребра возврата в соответствующей точке.

6. Найдите горловую линию поверхности, образованной бинормалями пространственной линии.

7. Прямая перемещается параллельно плоскости , пересекая ось и линию Найдите асимптотические линии поверхности, описываемой этой прямой.

Практическое задание №11

1. Составьте уравнение поверхности, образованной движением прямой, которая при движении остается параллельной плоскости ZOY, пересекает ось OX и линию

2. Напишите параметрическое уравнение фигуры, образованной касательными к винтовой линии Является ли эта фигура поверхностью?

2-4. Найдите огибающую семейства поверхностей:

5. Найдите огибающую и характеристики семейства сфер Существует ли ребро возврата огибающей?

6. Найдите ребро возврата огибающей семейства плоскостей

где параметр.

7. Найдите огибающую семейства сфер постоянного радиуса, центры которых расположены на данной линии (трубчатая поверхность).

Практическое задание №12

Контрольная работа