Распределение Пирсона (или “хи”-квадрат распределение)

Пусть СВ , где Xi ~ N(0, 1) - независимые нормированные нормально распределенные СВ. Тогда X подчиняется распределению “хи”-квадрат с n степенями свободы: X ~ cn2. С ростом n “хи”-квадрат распределение приближается к нормальному с параметрами mX = n и sX = .

Таблица 2.

Значения c²_n,a в зависимости от числа степеней свободы n и вероятности a:

P{ X > c²_{n, a} } = a.

число степеней свободы	Вероятность a:
n	0,99	0,975	0,95	0.90	0,10	0,05	0,025	0,01
	0,00016	0,00098	0,0039	0,016	2,7	3,8	5,0	6,6
	0,020	0,051	0,103	0,211	4,6	6,0	7,4	9,2
	0,115	0,216	0,352	0,584	6,3	7,8	9,3	11,3
	0,30	0,48	0,71	1,06	7,8	9,5	11,1	13,3
	0,55	0,83	1,14	1,61	9,2	11,1	12,8	15,1
	0,87	1,24	1,63	2,20	10,6	12,6	14,4	16,8
	1,24	1,69	2,17	2,83	12,0	14,1	16,0	18,5
	1,65	2,18	2,73	3,49	13,4	15,5	17,5	20,1
	2,09	2,70	3,32	4,17	14,7	16,9	19,0	21,7
	2,56	3,25	3,94	4,86	16,0	18,3	20,5	23,2
	3,1	3,8	4,6	5,6	17,3	19,7	21,9	24,7
	3,6	4,4	5,2	6,3	18,5	21,0	23,3	26,2
	4,1	5,0	5,9	7,0	19,8	22,4	24,7	27,7
	4,7	5,6	6,6	7,8	21,1	23,7	26,1	29,1
	5,2	6,3	7,3	8,5	22,3	25,0	27,5	30,6
	5,8	6,9	8,0	9,3	23,5	26,3	28,8	32,0
	6,4	7,6	8,7	10,1	24,8	27,6	30,2	33,4
	7,0	8,2	9,4	10,9	26,0	28,9	31,5	34,8
	7,6	8,9	10,1	11,7	27,2	30,1	32,9	36,2
	8,3	9,6	10,9	12,4	28,4	31,4	34,2	37,6
	8,9	10,3	11,6	13,2	29,6	32,7	35,5	38,9
	9,5	11,0	12,3	14,0	30,8	33,9	36,8	40,3
	10,2	11,7	13,1	14,8	32,0	35,2	38,1	41,6
	10,9	12,4	13,8	15,7	33,2	36,4	39,4	43,0
	11,5	13,1	14,6	16,5	34,4	37,7	40,6	44,3
	12,2	13,8	15,4	17,3	35,6	38,9	41,9	45,6
	12,9	14,6	16,2	18,1	36,7	40,1	43,2	47,0
	13,6	15,3	16,9	18,9	37,9	41,3	44,5	48,3
	14,3	16,0	17,7	19,8	39,1	42,6	45,7	49,6
	15,0	16,8	18,5	20,6	40,3	43,8	47,0	50,9

T - распределение Стьюдента

Свойство симметрии: -tn, 1-a= tn, a.

Пусть СВ V ~ N(0, 1), а независимая от нее СВ X ~ cn2, тогда СВ подчиняется t - распределению Стьюдента с n степенями свободы, т.е.: T ~ tn. С ростом n распределение Стьюдента приближается к нормированному нормальному распределению N(0, 1). Уже для n ³ 60 распределение Стьюдента с высокой степенью точности аппроксимируется нормированным нормальным распределением.

Таблица 3.

Значения t_{n, a} в зависимости от числа степеней свободы n и вероятности a:

P{ T > t_n,a } = a.

число степеней свободы	Вероятность a:
n	0,20	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
	1,38	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66	318,31	636,62
	1,06	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93	22,33	31,60
	0,98	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84	10,21	12,94
	0,94	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17	8,61
	0,92	1,48	2,02	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
	0,91	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
	0,90	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50	4,78	5,41
	0,89	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
	0,88	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30	4,78
	0,88	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
	0,88	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11	4,02	4,44
	0,87	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06	3,93	4,32
	0,87	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
	0,87	1,34	1,76	2,15	2,62	2,98	3,79	4,14
	0,87	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
	0,86	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,02
	0,86	1,33	1,74	2,11	2,57	2,90	3,65	3,97
	0,86	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
	0,86	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
	0,86	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
	0,86	1 ,32	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
	0,86	1,32	1,72	2,07	2,51	2,82	3,50	3.79
	0,86	1,32	1,71	2,07	2,50	2,81	3,48	3,77
	0,86	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80	3,47	3,75
	0,86	1,32	1,71	2,06	2,48	2,79	3,45	3,73
	0,85	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
	0,85	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
	0,85	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23	3,46
	0,84	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62	3,16	3,37
¥	0,84	1,28	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29

F - распределение Фишера

Пусть СВ X1 ~ cn12, а независимая от нее СВ X2 ~ cn22, тогда СВ подчиняется F - распределению Фишера с n1 и n2 степенями свободы, т.е.: F ~ Fn1,n2. В таблице 4 приведены значения лишь для a = 0,05, однако, ее можно использовать и при a = 0,95, поскольку Fn1,n2, 1-a = 1/Fn2,n1, a.

Таблица 4.

Значения F_{n1,n2, a} в зависимости от

числа степеней свободы n₁, n₂ и вероятности a = 0,05: P{ F > F_{n1,n2, a} } = a.

n1 n2
	18,5	19,0	19,2	19,2	19,3	19,3	19,4	19,4	19,4
	10,1	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,44	2,37	2,32
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36	2,30
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,40	2,34	2,28
	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12
	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04
	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,09	2,02	1,96
¥	3,84	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88

n1 n2										¥
	19,4	19,4	19,4	19,4	19,5	19,5	19,5	19,5	19,5	19,5
	8,79	8,74	8,70	8,66	8,64	8,62	8,59	8,57	8,55	8,53
	5,96	5,91	5,86	5,80	5,77	5,75	5,72	5,69	5,66	5,63
	4,74	4,68	4,62	4,56	4,53	4,50	4,46	4,43	4,40	4,36
	4,06	4,00	3,94	3,87	3,84	3,81	3,77	3,74	3,70	3,67
	3,64	3,57	3,51	3,44	3,41	3,38	3,34	3,30	3,27	3,23
	3,35	3,28	3,22	3,15	3,12	3,08	3,04	3,01	2,97	2,93
	3,14	3,07	3,01	2,94	2,90	2,86	2,83	2,79	2,75	2,71
	2,98	2,91	2,85	2,77	2,74	2,70	2,66	2,62	2,58	2,54
	2,85	2,79	2,72	2,65	2,61	2,57	2,53	2,49	2,45	2,40
	2,75	2,69	2,62	2,54	2,51	2,47	2,43	2,38	2,34	2,30
	2,67	2,60	2,53	2,46	2,42	2,38	2,34	2,30	2,25	2,21
	2,60	2,53	2,46	2,39	2,35	2,31	2,27	2,22	2,18	2,13
	2,54	2,48	2,40	2,33	2,29	2,25	2,20	2,16	2,11	2,07
	2,49	2,42	2,35	2,28	2,24	2,19	2,15	2,11	2,06	2,01
	2,45	2,38	2,31	2,23	2,19	2,15	2,10	2,06	2,01	1,96
	2,41	2,34	2,27	2,19	2,15	2,11	2,06	2,02	1,97	1,92
	2,38	2,31	2,23	2,16	2,11	2,07	2,03	1,98	1,93	1,88
	2,35	2,28	2,20	2,12	2,08	2,04	1,99	1,95	1,90	1,84
	2,32	2,25	2,18	2,10	2,05	2,01	1,96	1,92	1,87	1,81
	2,30	2,23	2,15	2,07	2,03	1,98	1,94	1,89	1,84	1,78
	2,27	2,20	2,13	2,05	2,01	1,96	1,91	1,86	1,81	1,76
	2,25	2,18	2,11	2,03	1,98	1,94	1,89	1,84	1,79	1,73
	2,24	2,16	2,09	2,01	1,96	1,92	1,87	1,82	1,77	1,71
	2,22	2,15	2,07	1,99	1,95	1,90	1,85	1,80	1,75	1,69
	2,20	2,13	2,06	1,97	1,93	1,88	1,84	1,79	1,73	1,67
	2,19	2,12	2,04	1,96	1,91	1,87	1,82	1,77	1,71	1,65
	2,18	2,10	2,03	1,94	1,90	1,85	1,81	1,75	1,70	1,64
	2,16	2,09	2,01	1,93	1,89	1,84	1,79	1,74	1,68	1,62
	2,08	2,00	1,92	1,84	1,79	1,74	1,69	1,64	1,58	1,51
	1,99	1,92	1,84	1,75	1,70	1,65	1,59	1,53	1,47	1,39
	1,91	1,83	1,75	1,66	1,61	1,55	1,50	1,43	1,35	1,25
¥	1,83	1,75	1,67	1,57	1,52	1,46	1,39	1,32	1,22	1,00

Таблица 5.

Доверительные интервалы для неизвестных параметров

Нормальных распределений

№ п/п	Параметр	Информация о других параметрах распределения	Доверительный интервал параметра с доверительной вероятностью g
1.	mX	sX известно
2.	mX	sX неизвестно
3.	s2X	mX известно
4.	s2X	mX неизвестно
5.	sX	mX неизвестно
6.		неизвестны
7.	r	и неизвестны	это справедливо для достаточно больших n (n > 10)

____________

Примечание:

n -	объем выборки x1, x2, ... xn;
sp -	квантиль уровня p нормированного нормального распределения;	(см. таблицу 1)
-	выборочное среднее;
-	выборочное значение дисперсии СВ X;
r -	коэффициент корреляции СВ X1 и X2;
-	выборочный коэффициент корреляции СВ X1 и X2;
c2n, a -	значение распределения Пирсона;	(см. таблицу 2)
tn, a -	значение t - распределения Стьюдента;	(см. таблицу 3)
Fn1,n2, a -	значение F - распределения Фишера.	(см. таблицу 4)