Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.
Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число nr,s, определяемое формулой:
nr,s = M[Xr Ys] =
Начальный момент nr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, nr,0 = M[Xr] - соответствующие начальные моменты компоненты X. Вектор с неслучайными координатами (mX, mY) = (n1,0, n0,1) называется математическим ожиданием случайного вектора (X, Y) или центром рассеивания.
Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число mr,s определяемое формулой
mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =
Центральный момент mr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) называется дисперсией случайного вектора.
Центральный момент m1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M[
] = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M[XY]-mX mY.
Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация
rXY = KXY/(sXsY). Свойства ковариации (и коэффициента корреляции):
1. KXX = DX, KYY = DY, (rXX = rYY = 1);
2. KXY = KYX, (rXY = rYX);
3. |KXY| £ , (|rXY | £ 1).
Ковариационный момент и коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости между X и Y. Условие |rXY | = 1 необходимо и достаточно, чтобы СВ X и Y были связаны линейной зависимостью Х = a×Y + b, где a и b - константы. СВ, для которых KXY = 0 (rXY = 0), называются некоррелированными. Из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).
Условным математическим ожиданием компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:
mX/Y = M[X/Y = yj] =
где Р{X = xi /Y = yj} = , pij = Р{X = xi ,Y = yj}.
Условной дисперсией компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:
DX/Y = D[X/Y = yj] =
Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора без труда обобщаются на случай n-мерного случайного вектора (Х1, Х2, ..., Хn). Так, например, вектор с неслучайными координатами (m1, m2, ..., mn), где mi - математическое ожидание СВ Хi, определяемое формулой
mi = M[Xi] = , называется центром, рассеивания случайного вектора.
Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора = (Х1, Х2, ..., Хn) называется симметрическая матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент случайного вектора:
K = ![]() | где Кij = M[ ![]() ![]() |
Корреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов корреляции соответствующих пар компонент случайного вектора:
C = ![]() | rij = ![]() |
Задача 1. Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в следующем виде:
![]() | 1 | 2 | 3 |
1 | 1/9 | 1/9 | 1/9 |
2 | 0 | 1/6 | 1/6 |
3 | 0 | 0 | 1/3 |
1. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].
2. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).
3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
Задача 2. Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют
совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | -1£ x £ 2, 1 £ y £ 2}.
Записать общее выражение для ПР и для ФР вероятности случайного вектора (X,Y).
Найти центр рассеивания (mX, mY)и вычислить дисперсию (DX, DY) совместного распределения координат.
Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Следующие утверждения и теоремы составляют основу законов, объединенных общим названием закон больших чисел.
Первое неравенство Чебышева. Если СВ X ³ 0 имеет конечное значение m = M[X], то для любого e > 0 справедливо:
P{X ³ e} £ m/e или P{X < e} > 1 - m/e.
3 Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым и для СВДТ. Так как
Тогда P{X ³ e} £ m/e, что и требовалось показать. 4
Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения m = M[X] и s2 = D[X], то для любого e > 0 справедливо:
P{ôX - mô ³ e} £ s2/e2 или P{ôX - mô < e} > 1 - s2/e2.
3 Проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x). Так как
Тогда P{ôX - mô ³ e} £ s2/e2, что и требовалось показать. 4
Последовательность СВ X1, X2, ..., Xn, ... называется сходящийся по вероятности при n ® ¥ к СВ X (обозначение: при n ® ¥), если для любого, сколь угодно малого e > 0 справедливо
, или, иными словами, для любых, сколь угодно малых чисел e > 0 и d > 0 найдется номер k, что для всех n > k выполняется условие:
P{ôXn - Xô < e} > 1 - d.
Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если попарно независимые СВ X1, X2, ..., Xn, ... имеют конечные значения M[Xi] = mi и D[Xi] = si2£ s2, то для любого e > 0 справедливо следующее:
где
или
при n ® ¥.
3 Пусть СВ следовательно математическое ожидание и дисперсия этой СВ определяется следующим образом
и
.
Из второго неравенства Чебышева следует, что P{ôY - M[Y]ô < e} > 1 - D[Y]/e2 ³ 1 - c2/n, где c = s/e > 0.
Тогда при n ® ¥ для любого e > 0 вероятность P{ô -
ô < e} ® 1, что и требовалось показать. 4
Следствие. Если в условии теоремы СВ X1, ..., Xn, ... имеют одинаковые значения M[Xi] = m, то для любого e > 0 справедливо следующее:
где
или
при n ® ¥.
Теорема (Закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n ® ¥ частота “успехов” сходится по вероятности к p, где p - вероятность “успеха” в одном испытании, т.е.:
при n ® ¥ или
для любого e > 0.
3 Пусть СВ Xi подчиняется закону распределения Бернулли, следовательно M[Xi] = p и D[Xi] = p×q. Так как , тогда из следствия теоремы получаем для любого e > 0
или
при n ® ¥, что и требовалось показать. 4
Задача 1. Пусть СВ X подчиняется закону Ex(1). С помощью неравенств Чебышева оценить вероятности
P{ôX - M[X]ô < a× } для a = 1, 2, 3. Сравнить эти оценки с точными значениями.