Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА

Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.

Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число nr,s, определяемое формулой:

nr,s = M[Xr Ys] = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru

Начальный момент nr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, nr,0 = M[Xr] - соответствующие начальные моменты компоненты X. Вектор с неслучайными координатами (mX, mY) = (n1,0, n0,1) называется математическим ожиданием случайного вектора (X, Y) или центром рассеивания.

Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число mr,s определяемое формулой

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru

Центральный момент mr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) называется дисперсией случайного вектора.

Центральный момент m1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M[ Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru ] = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M[XY]-mX mY.

Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация

rXY = KXY/(sXsY). Свойства ковариации (и коэффициента корреляции):

1. KXX = DX, KYY = DY, (rXX = rYY = 1);

2. KXY = KYX, (rXY = rYX);

3. |KXY| £ Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru , (|rXY | £ 1).

Ковариационный момент и коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости между X и Y. Условие |rXY | = 1 необходимо и достаточно, чтобы СВ X и Y были связаны линейной зависимостью Х = a×Y + b, где a и b - константы. СВ, для которых KXY = 0 (rXY = 0), называются некоррелированными. Из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).

Условным математическим ожиданием компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:

mX/Y = M[X/Y = yj] = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru

где Р{X = xi /Y = yj} = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru , pij = Р{X = xi ,Y = yj}.

Условной дисперсией компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:

DX/Y = D[X/Y = yj] = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru

Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора без труда обобщаются на случай n-мерного случайного вектора (Х1, Х2, ..., Хn). Так, например, вектор с неслучайными координатами (m1, m2, ..., mn), где mi - математическое ожидание СВ Хi, определяемое формулой

mi = M[Xi] = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru , называется центром, рассеивания случайного вектора.

Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru = (Х1, Х2, ..., Хn) называется симметрическая матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент случайного вектора:



K = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru ,   где Кij = M[ Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru ] - ковариация i-й и j-й компонент. Очевидно, что Кii = М[Xi2] -дисперсия i-й компоненты.

Корреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов корреляции соответствующих пар компонент случайного вектора:

C = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru ,   rij = Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru - коэффициент корреляции i-й и j-й компоненты.

Задача 1. Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в следующем виде:

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru Y X 1 2 3
1 1/9 1/9 1/9
2 0 1/6 1/6
3 0 0 1/3

1. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

2. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Задача 2. Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют

совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | -1£ x £ 2, 1 £ y £ 2}.

Записать общее выражение для ПР и для ФР вероятности случайного вектора (X,Y).

Найти центр рассеивания (mX, mY)и вычислить дисперсию (DX, DY) совместного распределения координат.

Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Следующие утверждения и теоремы составляют основу законов, объединенных общим названием закон больших чисел.

Первое неравенство Чебышева. Если СВ X ³ 0 имеет конечное значение m = M[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{X ³ e} £ m/e или P{X < e} > 1 - m/e.

3 Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым и для СВДТ. Так как

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru

Тогда P{X ³ e} £ m/e, что и требовалось показать. 4

Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения m = M[X] и s2 = D[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{ôX - mô ³ e} £ s2/e2 или P{ôX - mô < e} > 1 - s2/e2.

3 Проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x). Так как

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru

Тогда P{ôX - mô ³ e} £ s2/e2, что и требовалось показать. 4

Последовательность СВ X1, X2, ..., Xn, ... называется сходящийся по вероятности при n ® ¥ к СВ X (обозначение: Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru при n ® ¥), если для любого, сколь угодно малого e > 0 справедливо Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru , или, иными словами, для любых, сколь угодно малых чисел e > 0 и d > 0 найдется номер k, что для всех n > k выполняется условие:

P{ôXn - Xô < e} > 1 - d.

Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если попарно независимые СВ X1, X2, ..., Xn, ... имеют конечные значения M[Xi] = mi и D[Xi] = si2£ s2, то для любого e > 0 справедливо следующее:

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru где Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru или Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru при n ® ¥.

3 Пусть СВ Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru следовательно математическое ожидание и дисперсия этой СВ определяется следующим образом

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru и Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru .

Из второго неравенства Чебышева следует, что P{ôY - M[Y]ô < e} > 1 - D[Y]/e2 ³ 1 - c2/n, где c = s/e > 0.

Тогда при n ® ¥ для любого e > 0 вероятность P{ô Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru - Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru ô < e} ® 1, что и требовалось показать. 4

Следствие. Если в условии теоремы СВ X1, ..., Xn, ... имеют одинаковые значения M[Xi] = m, то для любого e > 0 справедливо следующее:

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru где Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru или Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru при n ® ¥.

Теорема (Закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n ® ¥ частота “успехов” сходится по вероятности к p, где p - вероятность “успеха” в одном испытании, т.е.:

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru при n ® ¥ или Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru для любого e > 0.

3 Пусть СВ Xi подчиняется закону распределения Бернулли, следовательно M[Xi] = p и D[Xi] = p×q. Так как Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru , тогда из следствия теоремы получаем для любого e > 0

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru или Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru при n ® ¥, что и требовалось показать. 4

Задача 1. Пусть СВ X подчиняется закону Ex(1). С помощью неравенств Чебышева оценить вероятности

P{ôX - M[X]ô < a× Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА - student2.ru } для a = 1, 2, 3. Сравнить эти оценки с точными значениями.

Наши рекомендации