Тесты на гетероскедастичность

Тесты на гетероскедастичность предназначены для ситуации, когда ошибки не коррелированны, но дисперсия ошибок не постоянна.

Проверяется основная гипотеза Н₀: (модель гомоскедастична) против альтернативной гипотезы Н₁: (модель гетероскедастична).

Наиболее часто используют:

1. Тест Голдфелда-Квандта (Goldfeld-Quandt).

2. .Тест Бреуша-Пагана (Breus-Pagan).

3. .Тест Вайта (White).

Тест Голдфелда-Квандта (Goldfeld-Quandt)

Предполагается, что стандартные отклонения ошибки пропорционально значениям одной из независимых переменных.

Этапы тестирования:

1. Упорядочивают наблюдения по величине x.

2. Выборку разбивают на три части.

3. Рассчитывают регрессию для первой трети выборки, находят Q^I_ост.

4. Рассчитывают регрессию для последней трети выборки, находят Q^II_ост.

5. Находят

F_набл= Q^II_ост/Q^I_ост. (6.1)

6. Если , то имеет место гетероскедастичность.

Необходимо учитывать, что если в модели более одной объясняющей переменной, то число наблюдений должно быть больше, чем k +1, где k - число объясняющих переменных.

Пример 6.1

По данным таблицы 5.1 проверить гипотезу о гомоскедастичности, используя тест Гольфрельда-Квандта.

Решение

Упорядочим выборку по той переменной, по которой есть подозрение на гетероскедастичность, например, по х₁. Для этого необходимо выделить весь массив переменной, в командной строке курсором выбрать «Данные», затем «Сортировка». Появится окно «Сортировка диапазона» (рис.6.3). Необходимо отметить «Сортировать по возрастанию», нажать ОК. В результате ваши данные отсортируются по возрастанию данных переменной х₁.

Рис. 6.3. Окно «Сортировка диапазона»

Разобьем 25 наблюдений приблизительно на 3 части.

Построим регрессию для первых 9 наблюдений (рис. 6.4) и для последних 9 переменных (рис.6.5). Для каждой регрессии найдем Q_ост.

Рис. 6.4. Регрессия по первым 9 наблюдениям

Рис. 6.5. Регрессия по последним 9 наблюдениям

Найдем статистику (6.1):

.

Так как

то гипотеза о гомоскедастичности не отвергается.

Следует заметить, что переменная Х₁ гомоскедастична, но это не значит, что по всем остальным переменным модель может быть гетероскедастичной. Поэтому необходима дальнейшая проверка по остальным переменным.

Тест Бреуша-Пагана (Breus-Pagan)

Предполагается, что дисперсия случайной ошибки зависит от нескольких независимых переменных.

s_i²=g₀+g₁z_i1+g₂z_i2+…+g_mz_im.

Этапы тестирования:

1. Рассчитывают МНК-оценки коэффициентов регрессии.

2. Находят остатки e_i.

3. Находят квадраты остатков e_i².

4. Рассчитывают коэффициент детерминации R²для регрессии

e_i²= g₀+g₁z_i1+g₂z_i2+…+g_mz_im.

5. Вычисляют X²_набл= n R². (6.2)

6. Если X²_наблпревосходит критическое значение статистики Хи-квадрат для m степеней свободы, гетероскедастичность присутствует.

Пример 6.2

По данным таблицы 5.1 проверить гипотезу о гетероскедастичности, используя тест Бреуша-Пагана.

Решение

Рассчитаем регрессию по всем шести переменным, в результате получим регрессию (рис. 5.2). При построении регрессии необходимо вывести остатки e_i, для этого следует поставить флажок «Остатки» в параметрах Регрессии(рис. 2.3).

В результате получим таблицу остатков. Найдем квадраты остатков (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Вывод остатка регрессии

Затем строим регрессию, в которой за зависимую переменную берется столбец квадратов остатков е_i², а за зависимые переменные –переменные Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅, Х₆.

Результат представлен на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Вывод остатка регрессии

Найдена статистика (6.2): .

Так как Х²_набл=17,15> Х²_крит =12,59, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается и модель считается гетероскедастичной.

Критическое значение распределения хи-квадрат найдено с помощью действий: f_x®Статистические®ХИ2ОБР(m), где m – число переменных, входящих в уравнение регрессии (в данном случае 6).

Тест Вайта (White)

Этот тест аналогичен тесту Бреуша-Пагана. В качестве независимых переменных используются все регрессоры, их квадраты и попарные произведения.

s_i²=g₀+g₁x_i1+g₂x_i2+…+g_kx_ik+ g_k+1x_i1x_i2+ g_k+2x_i1x_i3+…+ g_mx_ik².

Этапы тестирования:

1. Рассчитывают МНК-оценки коэффициентов регрессии.

2. Находят остатки e_i.

3. Находят квадраты остатков e_i².

4. Находят оценку остаточной дисперсии .

5. Рассчитывают R²для регрессии

e_i²=g₀+g₁x_i1+g₂x_i2+…+g_kx_ik+ g_k+1x_i1x_i2+ g_k+2x_i1x_i3+…+ g_mx_ik².

6. Вычисляют X²_набл= nR². (6.3)

7. Если X²_наблпревосходит критическое значение статистики Хи-квадрат для m степеней свободы, то гетероскедастичность присутствует.

Пример 6.3

По данным таблицы 5.1 проверить гипотезу о гетероскедастичности, используя тест Вайта.

Решение

Так как число переменных, входящих в уравнение не может быть больше 16, оставим только первые четыре переменных. В таблице построим данные, соответствующие квадратам переменных и их перекрестным произведениям (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Данные для построения регрессии

Построим уравнение регрессии для этих переменных. Получим коэффициент детерминации, равный 0,98 (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Расчет теста Вайта

Рассчитаем статистику по формуле (6.3).

Так как X²_набл= nR²=24,64 >Х²_крит =22,36 для числа степеней свободы, равного 13, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается и модель можно считать гетероскедастичной.