В.А. Балаш, О.С. Балаш, А.И. Землянухин
Эконометрика
Учебное пособие
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
по образованию в области статистики
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по экономическим специальностям
Саратов
УДК 311(075.8)
ББК 60.6я73
П69
АВТОРЫ:
В.А. Балаш, О.С. Балаш, А.И. Землянухин
Рецензенты:
кафедра статистики Мордовского государственного университета (заведующий кафедрой доктор экономических наук,
профессорЮ.В. Сажин);
П69 | Эконометрика: Учеб. пособие – Саратов: 2005. – с. |
ISBN 5-279-......
Учебное пособие подготовлено по дисциплине “Эконометрика”. Оно содержит краткий обзор основных понятий эконометрики, по всем главам представлены решения типовых примеров в программе Excel. Учебное пособие включает задачи по изучаемой дисциплине. В приложениях даны математико-статистические таблицы.
Учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей экономических вузов. Он может быть полезен широкому кругу практиков-аналитиков.
0702000000– 012 П ------------------------– 2004 010(01)– 2005 | УДК 311(075.8) ББК 60.6я73 |
ISBN5-279-...... | © Коллектив авторов, 2005 |
Оглавление
Введение. 4
1. Парная линейная регрессия. 7
2.... Множественное линейное уравнение регрессии. 23
3. Эконометрические модели с переменной структурой. Фиктивные переменные 32
4. Тест Чоу. 36
5. Сравнение «длинной» и «короткой» регрессии. 39
6. Гетероскедастичность. 43
6.1. Тесты на гетероскедастичность. 45
6.1.1. Тест Голдфелда-Квандта (Goldfeld-Quandt). 45
6.1.2. Тест Бреуша-Пагана(Breus-Pagan). 48
6.1.3. Тест Вайта (White). 50
6.2. Коррекция на гетероскедастичность. 52
Задачи для самостоятельного решения. 54
Приложения. 59
Введение
Введение
Регрессионное управление имеет вид:
,
где индекс i обозначает номер наблюдения, yi – эндогенныеили зависимые (объясняемые) переменные, x1,…xm – экзогенные или независимые (объясняющие) переменные, ei - регрессионные остатки.
В простейшем случае парной линейной регрессии исследуется модель вида:
.
Решение задачи регрессионного анализа состоит из оценки коэффициентов α и β по их фактическим значениям (эти оценки обозначают ), вычисление ожидаемого значения y по формуле
(при этом ) и статистической проверки взаимосвязи между зависимыми и независимыми переменными.
В настоящее время уровень развития информационных технологий позволяет существенно упростить процесс эконометрического моделирования с использованием специализированных программных продуктов, таких как EViews, RATS, STATA,SPSS и других. Эти программы сочетают в себе удобство графического интерфейса и гибкости в выборе задач, основанную на использовании командного языка. Однако для их эксплуатации необходим достаточно высокий уровень общей компьютерной грамотности. Поэтому для большинства «средних пользователей» оптимальным является использование табличного процессора MS Excel, интегрированного в пакете MS Office, начиная с Excel 7.0 for Windows 95.
Табличный процессор MS Excel включает в себя программную надстройку «пакет анализа» и библиотеку из 78 статистических функций. Такой набор инструментов, как правила, вполне достаточен для проведения всестороннего статистического анализа информации.
Данное учебное пособие призвано помочь студенту, аспиранту или офисному служащему в освоении основ эконометрики с использованием MS Excel.
Отношение к эконометрике в нашей стране имеет характерный диапазон от полного неприятия, при отсутствии информации о предмете до неоправданного энтузиазма. Приведем две типичные цитаты. Первая датируется 1978 годом и взята из учебника А.Г. Гранберга «Математические модели социалистической экономики»: «Эконометрика расширила арсенал приемов апологетики капиталистического строя. На основе математических моделей оптимизации, равновесия, теории игр модернизируются старые и создаются новые экономические теории. Буржуазные экономисты используют авторитет математики, наивную веру многих людей в абсолютную истинность математических формул для того, чтобы внушить доверие к своим теоретическим выводам, а возможности гармоничного и эффективного развития капиталистической экономии при взаимной заинтересованности всех социальных слоев общества».
Вторая цитат открывает учебник по эконометрике 2003 под реакцией И.И. Елисеевой: «эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира».
Сегодня эконометрика относится к числу базовых экономических дисциплин, и авторы будут считать свою цель достигнутой. Если это учебное пособие поможет в ее освоении и использовании.
1.1. Модели.
Эконометрика – это наука, связанная с эмпирическим выводом экономических законов, т.е. используются0 данные для того, чтобы получить количественные зависимости для экономических соотношений.
Данные, как правило, не являются экспериментальными, т.к. мы не можем проводить многократные эксперименты. Но это только малая часть работы эконометриста, он также моделирует экономические модели, основанные на экономической теории и эмпирических данных, оценивает неизвестные величины в этих моделях, делает прогнозы и оценивает их точность, дает рекомендации по экономической политике. Во всей этой деятельности существенным является использование моделей. Эйнштейн говорил: «Модели должны быть настолько простыми, насколько возможно, но не проще». В большинстве случаев экономические законы выражаются в относительно простой математической форме.
Рассмотрим функцию потребления lnC = β0+ β1lnY+ β2lnP , где β0, β1, β2 – константы; С – потребление некоторого продукта на душу населения в некотором году; Y – реальный доход на душу населения в этом году; Р – индекс цен на данный продукт, скорректированный (дефлированный) на общий индекс стоимости жизни. Это уравнение поведения, которое описывает потребителя по отношению к покупке данного пищевого продукта в зависимости от относительного уровня цен на продукты и реального душевого дохода.
Закон будет определен, как только мы найдем значения β0, β1, β2. Соответственно задача эконометрики – определить и оценить эти коэффициенты из подходящего набора наблюдений. Но эта задача не является единственной.
1.2. Типы моделей.
Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках, в исследовании экономической активности и даже в исследовании политических процессов. Можно выделить 3 основных класса моделей, которые используются при анализе и прогнозах:
1.. Модели временных рядов:
а) модель тренда: y(t) = T(t)+Et , где T(t) – временной тренд заданного параметрического вида; Et – случайный (стохастический) компонент.
Б) модель сезонности: y(t) = S(t)+Et , где S(t) – периодический сезонный компонент.
В) модели тренда и сезонности одновременно: T(t)+S(t)+Et (аддитивная модель); T(t)S(t)+Et (мультипликативная модель).
К моделям временных рядов относятся множества более сложных моделей, таких, как: модели адаптивного прогноза, модели авторегрессии, модели скользящей средней и др. Их общей чертой является то, что они объясняют поведение временного ряда исходя только из предыдущих значений. Такие модели могут применяться, например, для изучения и прогнозирования объемов продаж авиабилетов, спроса на мороженое, краткосрочного прогноза процентных ставок и т.д.
2. Регрессионные модели с одним уравнением: в таких моделях зависимая переменная y представляется в виде следующей функции: f(x, β) = f(x1, …, xк; β1 , …, βP), где
x1, …, xк – независимые объясняющие переменные, β1 , …, βP - параметры. В зависимости от вида функции f(x, β) модели делятся на линейные и нелинейные.
Пример. Можно исследовать спрос на мороженое, как функцию от времени, температуры воздуха, среднего уровня дохода.
Область применения таких моделей, даже линейных, значительно шире, чем применение моделей временных рядов. Проблема оценки, отбора значимых параметров и т.п. посвящен огромный объем литературы. Тема является стержневой в эконометрике и в данном курсе.
3. Системы одновременных уравнений: эти модели описываются системами уравнений. Они могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых кроме объясняющих переменных, включает в себя системы переменных из других уравнений системы.
Пример. Модель спроса и предложения (S-D) (система одновременных уравнений требует использовать более сложный математический аппарат) Пусть QtD – спрос на товар в момент времени t; QtS – предложение товара в момент времени t; Pt – цена товара в момент времени t; Yt – реальный доход на душу населения в момент времени t.
Сопоставим систему уравнений «спрос-предложение».
Предложение: QtS = α1 + α2Pt + α3Pt-1 + Et; Qt = QtS = QSD.
Цена товара Pt и спрос на товар QtD = QtS = Qt определяются из уравнений моделей, т.е. являются эндогенными переменными. Предопределенными переменными являются доход YD и значение цены товара в предыдущий момент времени Pt-1.
1.3. Типы данных.
При моделировании экономических процессов мы имеем дело с двумя типами данных (пространственные данные и временные ряды).
Примером пространственных данных являются набор сведений: объем производства, количество работников, доход и др. по разным фирмам в один и тот же момент времени. Это называется пространственным срезом. Другим примером могут служить данные по покупке-продаже наличной валюты в обменных пунктах Москвы. Примером временных данных могут быть ежеквартальные данные по инфляции, заработной плате, ежедневный курс $ на ММВБ.
Отличительной чертой всех данных является то, что они упорядочены по времени. Кроме того, в близкие моменты времени часто бывают зависимыми.
Парная линейная регрессия
Уравнением регрессии называется функция, описывающая зависимость условного среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов.
Предположим, что из двумерной генеральной совокупности (х, у) взята выборка объемом n, где (xi, yi) результат i-го наблюдения i=1,…n. В этом случае модель парной линейной регрессии имеет вид:
yi = β0 + β1 хi + εi,
где yi – зависимая переменная; xi – независимая переменная; εi – ошибка. Допустим, что εi – это независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием M(εi) = 0, дисперсией ошибки, независящей от номера наблюдения Dεi=σ2 .
Значения параметров β0 и β1 неизвестны. Их оценки, рассчитанные по выборочным данным, обозначают b0 и b1. Подставляя оценки в уравнение получим выборочное уравнение регрессии:
.
Чаще всего для расчета оценок коэффициентов регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). В качестве оценок неизвестных параметров β0 и β1 берут такие значения выборочных характеристик b0 и b1, которые минимизируют сумму квадратов отклонений yi от :
.
Для отыскания минимума найдем частные производные Q и приравняем их к нулю:
Получим систему уравнений:
(1.1)
Данная система называется системой нормальных уравнений.
Решая эту систему относительно b0 и b1, получим оценки коэффициентов регрессии:
, (1.2)
, (1.3)
где средние значения и
находятся по формулам:
;
. (1.4)
По полученному уравнению регрессии
(1.5)
получают расчетные (прогнозные) значения переменной у для каждого i наблюдения, то есть . Для этого в уравнение (1.5) подставляют известные значения независимой переменной хi (i = 1, 2, …, n).
Определяют характеристики качества построенной регрессионной модели (1.5). Для этого проводят анализ остатков модели (для всех i = 1, 2, …, n).
Находят несмещенную оценку остаточной дисперсии:
. (1.6)
Величину называют стандартной ошибкой остатков.
Наряду с получением точечных оценок коэффициентов регрессии важно знать, насколько точны эти оценки. Для этого вычисляют стандартные ошибки коэффициентов и строят доверительные интервалы для коэффициентов.
Стандартные ошибки коэффициентов b0 и b1 вычисляют по формулам:
; (1.7)
. (1.8)
Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значения прогнозируемого показателя.
Интервальная оценка для параметра β0:
, (1.9)
где tγ определяется из таблицы распределения Стьюдента для уровня значимости α=1-γ и числа степеней свободы ν=n-2. Обычно уровень значимости берут равным 0,05 или 0,01. g называют доверительной вероятностьюили надежностью, - стандартной ошибкой коэффициента b0.
Аналогично определяется интервальная оценка для коэффициента β1:
. (1.10)
Если переменная х не оказывает влияния на у, то прогноз будет одинаковым для всех значений независимых переменных х. В этом случае использовать уравнение регрессии для прогноза не имеет смысла. Значимость уравнения проверяют с помощью F критерия Фишера. Рассчитывают следующие суммы квадратов:
1. Общая сумма квадратов:
. (1.11)
2. Сумма квадратов остатков:
Qост = . (1.12)
3. Сумма квадратов, обусловленная регрессией:
Qрегр = . (1.13)
Выполняется условие:
, то есть
Qобщ = Qрегр + Qост. (1.14)
Для оценки значимости уравнения регрессии, то есть проверки гипотезы H0: β1=0 рассчитывают статистику Fнабл:
. (1.15)
По таблице F-распределения находят критическое значение Fкр(a; ν1, ν2), где a - уровень значимости; ν1, ν2 - число степеней свободы, причем для модели парной регрессии ν1=1, ν2=n-2. Если выполняется Fнабл > Fкр, то гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.
Коэффициентом детерминации или долей объясненной дисперсии называется коэффициент:
. (1.16)
Если R2 = 1, то линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, если R2 = 0, то регрессия не объясняет вариацию признаков, то есть отсутствует связь между х и у.
Коэффициент детерминации R2 такжеможет применяться для проверки гипотезы о значимости уравнения регрессии, то есть гипотезы H0: β1=0.
Для этого рассчитывают статистику:
, (1.17)
имеющую распределение Фишера с числом степеней свободы ν1=1, ν2=n - 2.
Если подставить в (1.17) значение коэффициента детерминации (1.16), то получим статистику, рассчитываемую по формуле (1.15), то есть статистики (1.15) и (1.17) одинаковы. Аналогично проводится проверка гипотезы Н0. Если выполняется Fнабл > Fкрит, то гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.
Если в целом уравнение регрессии значимо, проверяют значимость каждого коэффициента.
Установление значимости коэффициента регрессии βj сводится к проверке гипотезы H0: βj=0 .
Для проверки гипотезы рассчитывают:
. (1.18)
Из таблиц распределения Стьюдента (t-распределения) находят критическое значение tкр(α; ν=n-2), где a - уровень значимости, ν - число степеней свободы.
Если |tнабл|>tкр, то гипотеза H0 отвергается и коэффициент считается значимым. Если |tнабл| tкр, то гипотеза H0 не отвергается.
Интервальная оценка для прогноза yпрогноз при x=x0 находится следующим образом:
, (1.19)
где tγ определяется по таблицам распределения Стьюдента для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы ν=n-2.
Доверительный интервал имеет наименьшую величину, когда , а по мере удаления x0 от
ширина доверительного интервала увеличивается, и точность оценки y снижается.
Задача 1.1. На основании данных об издержках обращения и изменения товарооборота, приведенных в таблице:
Издержки обращения, тыс. руб. (у) | 1,1 | 1,3 | 1,4 | 1,1 | 1,9 | 1,7 | 1,4 | 1,2 | 1,9 | 1,9 |
Товарооборот, тыс. руб. (x) |
и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид
у = b0 + b1 х + e, требуется:
а) Найти оценку и проверить на 5% уровне значимость уравнения регрессии, то есть гипотезу Н0:b1 = 0;
б) Построить таблицу дисперсионного анализа для расчета F-критерия Фишера;
в) Найти коэффициент детерминации R2;
г) Найти интервальную оценку для прогноза издержек обращения у при товарообороте x = 10,0 тыс. руб.
Решение
Расчеты проведем в программе Exсel.
В столбец А занесем данные задачи по переменной х (товарооборот). В столбец В – данные переменной у (издержки обращения) (см. рис.1.1).
Рис. 1.1. Данные задачи
Для того, чтобы проверить, существует ли зависимость между признаками, построим диаграмму рассеивания. Для этого выделите столбецы х и у (ячейки А1:В11). На панели инструментов нажмите значок «Диаграммы» и при появлении окна (Мастер диаграмм) выберите точечную диаграмму (см. рис.1.2).
Рис. 1.2. Выбор точечной диаграммы
Нажимая клавишу «Далее» несколько раз, постройте точечную диаграмму (поле корреляции) на отдельном листе.
На рис. 1.3 видно, что между признаками х и у действительно наблюдает линейная связь.
Рис. 1.3. Поле корреляции
Для нахождения коэффициентов регрессии необходимо решить систему (1.1) и вычислить столбцы х2 и ху. Для этого в ячейку С2 вводится формула (=A2^2) (см. на рис.1.4 строку формул), чтобы формула ввелась, нажмите ОК. Затем курсор поместите в нижний правый угол ячейки и при появлении знака +, растяните ячейку вниз. Во всех ячейках столбца значения х возведутся в квадрат.
Аналогично рассчитывается столбец произведений ху: в ячейке D2 введена формула: (=A2*B2).
Рис.1.4. Вычисление столбцов
В ячейках A12, B12, C12, D12 стоят суммы по столбцам х, у, х2, ху. Для их нахождения необходимо в ячейке А12 выбрать на панели инструментов знак Σ, на экране выделится столбец, который необходимо суммировать. Затем следует нажать клавишу Enter – и в ячейке А12 появится сумма столбца х (60,00).
Аналогично рассчитываются суммы по остальным столбцам (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Вычисление сумм по столбцам таблицы
После того, как найдены суммы по столбцам, найдем оценки коэффициентов регрессии. Для решения системы уравнений методом наименьших квадратов (МНК) воспользуемся формулами (1.2) и (1.3).
Предварительно рассчитаем средние значения х и у по формулам (1.4). Для этого в ячейку В14 введем формулу (=А12/10), где 10 – это объем выборки. Аналогично находим в ячейке В15 среднее значение у.
Расчет коэффициентов регрессии по формулам (1.2) и (1.3) приведен на рис. 1.6. Причем, сначала рассчитывается коэффициент b1 в ячейке В17 (см. строку формул на рис.1.6), а затем коэффициент b0.
Для расчета b0 в ячейку В16 введена формула: (=В15-В17*В14).
Рис. 1.6. Расчет коэффициентов регрессии
Таким образом, получили оценку уравнения регрессии:
= 0,68 + 0,135х. (1.20)
Коэффициент b1= 0,135 показывает, что при изменении товарооборота на 1 тыс. руб., издержки обращения увеличивается на 0,135 тыс. руб.
Найдем прогнозные значения упр. Для этого подставляют в уравнение регрессии (1.20) все значения х. Для этого в ячейку Е2 вводят формулу (см. на рис. 1.7 строку формул). Следует учесть, что для всех данных х значения коэффициентов b0=0,68 и b1=0,135 не меняются, поэтому для ячеек, в которых находятся значения коэффициентов регрессии при наборе формулы, то есть для ячеек В16 и В17, следует нажать клавишу F4 на клавиатуре – в результате в строке формул появится знак $.
Сумма упр должна быть равна сумме у (14,9).
Рис. 1.7. Нахождение прогнозных значений у
Проведем анализ полученного уравнения.
Найдем остатки , оценку остаточной дисперсии
, стандартных ошибок коэффициентов.
Для оценки значимости уравнения регрессии и для нахождения значения F критерия, рассчитаем по формулам (1.11), (1.12) и (1.13) Qобщ,Qост и Qрегр, то есть расчетаем таблицу дисперсионного анализа (рис. 1.8).
Обратите внимание на расчет Qобщ и Qрегр с использованием среднего значения у (см. строку формул на рис.1.8).
Рис. 1.8. Расчет таблицы однофакторного дисперсионного анализа
Как видно из рис. 1.8 выполняется соотношение (1.14):
Qобщ = Qрегр + Qост.=0,73+0,26=0,99.
Для оценки значимости уравнения регрессии проверим гипотезу H0: β1=0.
Рассчитаем F-статистику по формуле (1.15) в ячейке Е14 (рис. 1.9):
.
По таблице F-распределения находят Fкр с числом степеней свободы ν1=1, ν2=n-2=10-2=8. Найдем его с помощью математических функций: определим критическое значение распределения Фишера Fкрит=FРАСПОБР(0,05;1;8) = 5,3176 (ячейка G14 на рис. 1.9). Для нахождения этого числа необходимо на панели инструментов выбрать клавишу fx - появится окно «Мастер функций», нажать курсором на строку «Статистические функции» и в правом окне найти FРАСПОБР (см. строку формул на рис. 1.9). Вероятность – это уровень значимости a =0,05.
Так как Fнабл = 22,43 > Fкр=5,3176, то гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.
Проверим значимость каждого коэффициента регрессии.
Рассчитаем несмещенную оценку остаточной дисперсии по формуле (1.6) (ячейка Е15):
,
и стандартную ошибку коэффициентов по формулам (1.7) и (1.8).
Для расчета стандартной ошибки коэффициента b1 нашли сумму в ячейке J12:
.
В ячейках Е15, Е16 и Е17 найдены оценки соответствующие остаточной дисперсии и дисперсии коэффициентов регрессии, то есть и
В ячейках – G15, G16, G17 - стандартные ошибки или квадратные корни из дисперсий коэффициентов:
;
.
Корень вычислили с помощью математической функции КОРЕНЬ (число), используя «Мастер функции».
Для проверки гипотезы H0: β0=0 рассчитали статистику в ячейке I16:
.
Находим критическое значение распределения Стьюдента с помощью статистической функции СТЮДРАСПОБР(0,05;8) = 2,3 (ячейка К16), где вероятность (уровень значимости) равна 0,05 и число степеней свободы
n-2=10-2=8.
Так как tнабл=3,77>tкр=2,3 то гипотеза H0 отвергается и коэффициент b0 считается значимым.
Проверим гипотезу H0: β1=0. Рассчитаем в ячейке I17:
.
Так как tнабл=4,736>tкр=2,3 то гипотеза H0 отвергается и коэффициент b1 значим, то есть товарооборот значимо влияет на издержки обращения.
Найдем коэффициент детерминации:
.
Таким образом, полученная модель регрессии адекватно описывает данные.
При выполнении всех расчетов получили рис.1.9.
Рис. 1.9. Анализ уравнения регрессии
Найдем 95% доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии, а затем для прогнозного значения х=2.
Интервальная оценка для параметра β0:
или 0,68-0,4141£b0£0,68+0,4146.
В ячейке D22 найдена верхняя граница доверительного интервала для коэффициента b0, то есть 0,68+0,4146=1,096, в ячейке D22 (0,68-0,4146=0,264) – нижняя граница. Следовательно, коэффициент b0 изменяется в интервале от 0,264 до 1,096 (рис. 1.10).
Аналогично интервальная оценка для коэффициента β1:
или 0,135-0,0657£b0£0,135+0,0657.
В ячейках D24, D25 приведены расчеты для нижней и верхней границ коэффициента b1.
Рис. 1.10. Расчет доверительных интервалов
Интервальная оценка для уравнения регрессии y при x0=10:
.
Для расчета этой величины необходимо подсчитать при х0=10 .
Расчет прогнозного значения для границ приведен в ячейках D24 и D25, формула для расчета верхней границы приведена в строке формул на рис.1.11. Для расчета нижней границы следует поставить знак «минус» после первой скобки.
В ячейке Н26 приведено расчетное значение издержек обращения при х=10 тыс. руб. Для его нахождения в уравнение регрессии (1.20) подставлено значение х=10 и получено значение в ячейке Н26 (2,03).
Рис. 1.11. Расчет доверительного интервала для х=10
Получено, что доверительный интервал для прогноза издержек обращения при товарообороте х =10 тыс. руб. находится в пределах от 2,354 тыс. руб. до 1,736 тыс. руб. с 95 % уровнем надежности.
Таким образом, по полученному уравнению регрессии
= 0,68 + 0,135х
можно сформулировать следующие выводы:
- при изменении товарооборота на 1 тыс. руб., издержки обращения увеличивается на 0,135 тыс. руб.;
- коэффициент детерминации (R2=0,737) показывает, что полученная модель регрессии адекватна данным;
- уравнение регрессии значимо и может применяться при прогнозе;
- товарооборот значимо влияет на издержки обращения;
- при товарообороте 10 тыс. руб. издержки обращения составят 2,03 тыс. руб.;
- доверительный интервал для прогноза издержек обращения при товарообороте х =10 тыс. руб. находится в пределах от 2,354 тыс. руб. до 1,736 тыс. руб. с 95 % уровнем надежности.
В поле корреляции возможно построить уравнение линейной регрессии. Для этого на рис. 1.3 для построения прямой выделите курсором точки, соответствующие данным. Нажмите правую кнопку мыши и выберите «Добавить линию тренда», ОК и из предложенных линий тренда отберите линейную. В результате получится прямая регрессии (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Прямая регрессии
Задача 2
Имеются данные о зависимости прибыли у (тыс. руб) от расходов на рекламу (тыс. руб) х1 и стоимости основных фондов х2 (тыс. руб) Данные приведены в таблице 2.1.
На основании данных таблицы:
а) построить уравнение регрессии у = b0+ b1х1 +b2х2 + e;
б) найти оценку и проверить на 5% уровне значимость уравнения регрессии, то есть гипотезу Н0: β1= β2=0;
в) проверить значимость каждого коэффициента регрессии;
г) Найти коэффициент детерминации R2.
Таблица 2.1
x1 | ||||||||||||||||||||
x2 | 6,2 | 5,2 | 6,5 | 6,9 | 10,2 | 15,5 | 17,2 | 16,2 | 20,5 | 16,9 | 18,2 | 19,5 | 26,2 | 35,2 | 26,5 | 26,9 | 30,2 | 35,5 | 40,0 | 35,0 |
y |
Решение
Решим задачу в программе Exel с помощью пакета «Анализ данных».
Для проведения регрессионного анализа на панели инструментов выберите «Сервис», затем «Надстройки» и при появлении окна поставить флажок на «Пакет анализа», нажать ОК.
Для решения задачи введем данные задачи в столбцы А, В и С (рис.2.1).
Рис. 2.1. Входные данные
Выберите еще раз «Сервис» и «Анализ данных». При появлении окна «Анализ данных» - нажмите курсором на инструмент анализа: «Регрессия» (см. рис. 2.2).
После выбора «Регрессии» появляется окно «Регрессия» (см. рис. 2.3).
Рис. 2.2. Окно «Анализ данных»
Рис. 2.3. Окно «Регрессия»
В категории Входные данные окна «Регрессия» необходимо указать:
- Входной интервал Y– диапазон зависимых переменных, состоящих из одного столбца;
- Входной интервал Х- диапазон независимых переменных, подлежащих анализу. Может состоять из одного или более столбцов. Максимальное количество столбцов равно 16;
- Константа-ноль – для построения регрессии без свободного члена (b0), то поставьте флажок в этом окне;
- Уровень надежности – для включения дополнительного уровня надежности, установите флажок в соответствующем окне. По умолчанию уровень надежности равен 95%;
- Остатки(остатки, стандартизированные остатки, график остатков и график подбора) – используются как дополнительный анализ параметров вывода.
Укажем курсором столбцы входных данных (см. рис. 2.4). Выбор столбцов проводится курсором.
Входной интервал Y – это столбец С2 – С45.
Входной интервал Х – это два столбца А2 до В21.
Необходимо заполнить Параметры вывода: можно установить Выходной интервал, то есть указать ячейку, в которой появится результат. Если выходной интервал не устанавливать, то решение появится на новом листе Exel.
Рис. 2.4. Выбор диапазона регрессии
Нажав ОК, получим результаты решения задачи (см. рис. 2.5).
Рис. 2.5. Вывод итогов построения регрессии
В столбце «Коэффициенты» получены коэффициенты уравнения регрессии.
Коэффициент b0= - 4,09 в Таблице анализа – это Y-пересечение.
Таким образом, получили уравнение регрессии:
.
Коэффициент b1=0,92 показывает, что при увеличении расходов на рекламу на 1 тыс. руб. прибыль увеличивается в среднем на 0,92 тыс. руб., а увеличение стоимости основных фондов на 1 тыс. руб. приводит к увеличению прибыли в среднем на 0,56 тыс. руб.
Стандартные ошибки коэффициентов:
,
где - стандартная ошибка (2.9);
- элементы обратной матрицы, стоящие на главной диагонали.
Они составляют: .
Для проверки значимости коэффициентов регрессии рассчитываются t –статистики по формуле (2.15).
Получены следующие t-статистики (рис. 2.5):
;
;
.
Находим критическое значение распределения Стьюдента для вероятности (уровня значимости) 0,05 и число степеней свободы n = n-k-1=20-2-1=17.
Критическое значение находим из таблиц распределения Стьюдента или с помощью статистической функции СТЮДРАСПОБР(0,05;17) = 2,11.
Для проверки гипотезы H0: βj=0 сравниваем получен