II. Интегральные характеристики напряжений в поперечных сечениях стержней с прямой осью

Y

Под действием внешних сил в поперечных сечениях стержней могут возникать нормальные s_z и касательные t_zx, t_zy напряжения (рис.1).

		tzy

X

tzx

		Z

x

Рис.1

В силу того, что правая часть стержня отброшена, для сохранения равновесия оставшейся части в сечении необходимо приложить систему «внутренних» сил, эквивалентную действию отброшенной части.

Главным вектором сил этой системы будет вектор (Q_x, Q_y, N) и главным моментом (М_x, M_y, M_к). Проекции этих векторов на координатные оси XYZ будем называть интегральными характеристиками напряжений в поперечном сечении стержня (ИХНС). Эти величины выражаются следующими интегралами:

N = s_zdF; Q_x = t_zxdF; Q_y = t_zydF; (5)

M _x= s_z ydF ; M_y = - s_z xdF; M_к = t_zy xdF- t_zx ydF,

где N – нормальная (продольная) сила;

Q_x, Q_y – поперечные силы;

М_x, M_y – изгибающие моменты;

М_к – крутящий момент.

Между ИХНС и внешними нагрузками существуют следующие дифференциальные зависимости:

= -q_z(z); = -q_y(z); = -q_x(z); (6)

= Q_y; = -Q_x; = -m_z.

Интегрируя эти зависимости, получают следующие выражения для нахождения интегральных характеристик напряжений в любом сечении стержня:

Q_x(z) = Q_x(0) - Y_x(z); Q_y(z) = Q_y(0) - Y_y(z); N(z) = N(0) - Y(z);

M_x(z) = M_x(0) + Q_y(0)z - Ф_х(z); M_y(z) = M_y(0) - Q_x(0)z - Ф_y(z);

M_к(z) = M_к(0) – Ф_z(z),

где Q_x(0), Q_y(0), N(0), M_x(0), M_y(0), М_к(0) – значения интегральных характеристик напряжений в начальном сечении стержня (при z = 0),

Y_x(z), Y_y(z), Y_z(z), Ф_х(z), Ф_y(z), Ф_z(z) - соответственно интегралы от правых частей зависимостей (6) и являются функциями, зависящими от закона распределения внешних нагрузок по длине стержня. Эти функции в дальнейшем будем называть нагрузочными.

Ниже приведены значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся случаев нагружения.

1. К оси стержня приложены продольные внешние нагрузки

Рис.2

Y_z(z) = q(z-a) - q(z-b) + P(z-c)⁰.

Здесь и далее следует иметь ввиду, что в том случае, когда выражение, стоящее в скобках, отрицательно, то все слагаемое равно нулю независимо от показателя степени. В случае приложения нескольких распределенных и сосредоточенных нагрузок соответствующие слагаемые нужно повторить для всех нагрузок. Все выражения нагрузочных функций записаны для положительных внешних нагрузок.

2. К оси стержня приложены внешние крутящие моменты

Рис.3

Ф_z(z) = m_z(z-a) - m_z(z-b) + L_z(z-c)⁰.

3.К оси стержня приложены силы в вертикальной плоскости

Рис.4

Y_y(z) = q_y(z-a) - q_y(z-b) + P_y(z-c)⁰,

Ф_х(z) = q_y(z-a)²/2 - q_y(z-b)²/2 + P_y(z-c) + L_х(z-d)⁰.

4.К оси стержня приложены нагрузки в горизонтальной плоскости (перпендикулярно плоскости чертежа)

Рис.5

Y_x(z) = q_x(z-a) - q_x(z-b) + P_x(z-c)⁰,

Ф_y(z) = - q_x(z-a)²/2 + q_x(z-b)²/2 - P_x(z-c) - L_y(z-d)⁰.

Постоянные Q_x(0), Q_y(0), N(0), M_x(0), M_y(0), М_к(0) находят из граничных условий, т.е. на основании имеющейся информации об интегральных характеристиках напряжений в каком-либо крайнем сечении стержня.

Так для ненагруженного конца стержня все интегральные характеристики равны нулю.

N(0) = 0; Q_x(0) = 0; Q_y(0) = 0; N(l) = 0; Q_x(l) = 0; Q_y(l) = 0;

M_к(0) = 0; M_x(0) = 0; M_y(0) = 0; M_к(l) = 0; M_x(l) = 0; M_y(l) = 0.

Рис.6

Если концы стержня оперты шарнирно шарнирно-подвижная или шарнирно-неподвижная опоры (Рис.7), то граничные условия будут

М_х(0) = 0; М_у(0) = 0; М_х(l) = 0; М_у(l) = 0.

Рис.7

В тех случаях, когда на конце стержня приложена сосредоточенная сила P или пара сил L, могут быть приняты, как и выше, однородные граничные условия, т.е. можно считать, что пара сил или сила приложены к оси стержня на некотором малом расстоянии от конца стержня D® 0, а в концевом сечении все интегральные характеристики напряжений равны нулю. Внешнюю силу Р или пару сил L при этом следует включить в нагрузочную функцию.

В этих же случаях могут быть приняты и неоднородные граничные условия. Для этого сила, приложенная на конце стержня, принимается равной соответственно продольной или поперечной силе, а пара сил – равной изгибающему или крутящему моментам в концевом сечении стержня. Эти силы или пары, естественно, в нагрузочную функцию уже не включают. На рисунке 8 записаны граничные условия для возможных случаев нагружения концевых сечений положительными внешними нагрузками.

N(0) = -P; N(l) = P; M_к(0) = -L; M_к(l) = L;

Q_y(0) = -P; Q_y(l) = P; M_x(0) = -L; M_x(l) = L;

M_x(0) = -L; M_x(l) = L.

Рис.8

После записи уравнений интегральных характеристик и вычисления начальных параметров можно построить их графики (эпюры). Эти графики строятся на осях, параллельных оси стержня, по нормали к которым откладываются значения функций. Эпюры позволяют наглядно представить изменение интегральных характеристик напряжений вдоль оси стержня и определить то сечение, где функции достигают наибольшего значения.