Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
![]() |
Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и с учетом порядка определяется числом размещений из n элементов по k элементов.
Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
![]() |
Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется числом сочетаний из n элементов по k элементов:
Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и с учетом порядка определяется числом перестановок из элементов:
Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
Рассмотрим урну с двумя шариками и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением:
С учетом порядка | Без учета порядка |
(1, 1) (2, 2) (1, 2) (2, 1) | (1, 1) (2, 2) (1, 2) |
В схеме «без учета порядка» получилось 3 различных результата в отличие от четырех в схеме «с учетом порядка». Тогда общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и без учета порядка определяется числом сочетаний с повторениями
.
Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом.
Пример. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится 4, и все они равновозможны, то есть имеют вероятность по 1/4:
(герб, герб), (решка, решка), (решка, герб), (герб, решка).
Если порядок не учитывать, то два последних исхода будут с одним и тем же результатом эксперимента, и получим три исхода вместо четырех: выпало два герба, либо две решки, либо один герб и одна решка.
При этом первые два исхода имеют вероятность 1/4, а последний — вероятность 1/4+1/4=1/2.
Геометрическая вероятность
Рассмотрим какую-нибудь область на прямой, на плоскости, в пространстве. Предположим, что «мера»
(длина, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку а. Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть
не зависит от формы или расположения области
внутри области
, а зависит лишь от «меры» области.
Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области так, что вероятность попадания точки в любую
не зависит от формы или расположения
внутри
, а зависит лишь от меры
области
(и, следовательно, пропорциональна этой мере).
«Мерой» будем называть длину, площадь, объем и т.д. Тогда вероятность будет равна:
.
Частные случаи геометрической вероятности.
1. Пусть – длина отрезка, содержащего в себе все элементарные исходы,
– длина части отрезка. Пусть на отрезок наудачу поставлена точка, и верны следующие предположения:
а) поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка (все исходы равновозможны);
б) вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно
.
Тогда вероятность попадания точки на отрезок будет равна отношению длин отрезков:
.
2. Пусть – плоская фигура, включающая в себя все элементарные исходы,
– часть фигуры
. На фигуру
брошена точка и верны следующие предположения:
а) поставленная точка может оказаться в любой точке фигуры (все исходы равновозможны);
б) вероятность попадания точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно
.
Тогда вероятность попадания точки в область будет равна отношению площадей фигур:
.
3. Аналогично вводиться вероятность, если - пространственная фигура, тогда вероятность попадания точки на фигуру
будет равна отношению объемов фигур:
.
Замечание.
1. В случае классического определения вероятности вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0; справедливо и обратное утверждение: если вероятность равна 0, то событие невозможно.
2. В случае геометрической вероятности обратное утверждение не справедливо, например, вероятность попадания брошенной точки в определенную точку области равна 0, но это событие может произойти, следовательно, не является невозможным.
Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности с радиусами 5 и 10 см. найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в большой круг, попадет также в кольцо образованное построенными окружностями?
Решение.
![]() | Событие ![]() ![]() ![]() |
.
Тогда искомая вероятность:
.
Пример. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку {0.5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), равна 0. Вместе с тем попадание в точку {0.5} не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.