Геометрические свойства векторного произведения
· Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
· Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу вектора
и
· Если — единичный вектор, ортогональный векторам
и
и выбранный так, что тройка
,
,
— правая, а S— площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
· Если — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор,
— единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к
— единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов
является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора
справедлива формула
· При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.
Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.
Алгебраические свойства векторного произведения
Далее и
обозначают соответственно векторное и скалярное произведение векторов
и
.
![]() | Антикоммутативность. |
![]() | Ассоциативность умножения на скаляр. |
![]() | Дистрибутивность по сложению. |
![]() | Тождество Якоби. |
![]() | |
![]() | Формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа. |
![]() | Частный случай мультипликативности нормы кватернионов. |
![]() | Значение этого выражения называют смешанным произведением векторов a, b, c. |
Выражение в координатах
В правом ортонормированном базисе
Если два вектора и
представлены в правом ортонормированном базисе координатами
то их векторное произведение имеет координаты
Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель:
Где i=(1, 0, 0), j=(0, 1,0), k=(0, 0, 1), или
где εijk— символ Леви-Чивиты.
В левом ортонормированном базисе
Если базис левый ортонормированный, то векторное произведение в координатах имеет вид
Длязапоминания, аналогично:
Или
Формулы для левой системы координат можно получить из формул правой системы координат, записав те же векторы и
во вспомогательной правой системе координат (i′= i, j′= j, k′= −k):
В произвольной аффинной системе координат
Векторное произведение в произвольной аффинной системе координат имеет координаты