Логарифмически нормальное распределение.

Определение 1. СВ

Y

Δ =

ex,

где X ~ N(m,σ), имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение с параметрами m и σ > 0.

Замечание 1. Так как e^x - строго возрастающая функция, то, учитывая вид нормального распределения (определение Л6.Р1.О1), найдём плотность логнормального распределения

fY(y)

4)f(x) =

fx(ψ(y))ψ'(y) =

|

ψ(y) = ln yψ'(y) = 1/y

|

=

=

{

yσ√2π   exp { - (ln y - m)2 2σ2 } 0,

, y > 0, y ≤ 0.

График f_Y(y) (см. рис.8) асимметричен с максимумом в точке y = exp(m - σ²).

Рисунок 8.

Замечание 2. Найдём МО и дисперсию СВ Y. По определению:

M[Y] =

1 σ√2π

+∞ ∫ 0

exp{-(ln y - m)2/2σ2} dy =

|

замена перем. y = exp{σ(t + σ) + m}

|

=

=

exp{m + σ2/2} √2π

+∞ ∫ -∞

e-t

2

/2 dt = exp{m + σ2/2}.

Аналогично можно найти M[Y²]= exp{2(σ² + m)}. Поэтому

D[Y] = M[Y²] - (M[Y])² = exp(σ² + 2m)*(exp{σ²} - 1).

Замечание 3. Логнормальное распределение широко используется в экономической статистике, статистической физике и др.

Экспоненциальное распределение.

Определение 1. СВ X имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром λ > 0 (X ~ E(λ)), если (см. рис.3)

f(x)=

{

λe-λx 0

, ,

если x ≥ 0, если x < 0.

Рисунок 3 Рисунок 4.

Замечание 1. Функция распределения СВ X ~ E(λ) равна (см. рис.4): F(x) = 0, если x < 0, и

F(x)

Δ =

x ∫ -∞

f(x) dx = | f(x) = 0 ,если x < 0 | = λ

x ∫ 0

e-λx dx = 1 - e-λx, x ≥ 0.

Замечание 2. Характеристическая функция СВ X ~ Е(λ):

g(t)

Δ =

+∞ ∫ -∞

eitxf(x) dx = λ

+∞ ∫ 0

e-λxeitx dx = λ

+∞ ∫ 0

ex(it-λ) dx =

=

λ it-λ

ex(it-λ)

|

+∞ x=0

=

λ λ-it

.

Замечание 3. Найдём МО и дисперсию СВ X ~ E(λ):

mx

Δ =

ν1 =

1 i

d dt

g(t)

|

t =0

=

λ (λ-it)2

|

t =0

=

1 λ

,

ν2 =

1 i2

d2 dt2

g(t)

|

t =0

=

2λ (λ-it)3

|

t =0

=

2 λ2

,

dx

6)mx =

ν2 - ν12 =

1 λ2

.

Замечание 4. Экспоненциальное распределение является одним из основных распределений, используемых в теории надежности. Например, продолжительность безотказной работы многих технических устройств, а также время задержки вылета самолёта по вине технических служб аэропорта удовлетворительно описываются соответствующими экспоненциальными распределениями.

Закон больших чисел.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимают совокупность теорем, в которых утверждается, что существует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

12.Неравенство Чебышёва. теорема Чебышева. Лемма Чебышева (Маркова). Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого a>0 имеет место неравенство:

(2.14.1)

12.Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого e>0 имеет место неравенство:

(2.14.2)

Неравенство Чебышева является в теории вероятностей общим фактом и позволяет оценить нижнюю границу вероятностей.

12.Теорема. Закон больших чисел Чебышева. Пусть Х₁, Х₂, ..., Х_n - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной C=const (D(X_i) £ C(i=1, 2, ..., n)). Тогда для любого e>0:

(2.14.3)

Теорема показывает, что среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью сколь угодно близкой к 1 будет мало отклониться от среднего арифметического математических ожиданий.

Следствие 1. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна p, m - число наступлений события А в серии из n независимых испытаний, то, каково бы ни было число e > 0 имеет место предел:

(2.14.4)

Таким образом устанавливается связь между относительной частотой появления события А и постоянной вероятностью p в серии из n независимых испытаний.

Следствие 2. Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в k-ом испытании равна p_k, то

где m-число появлений события А в серии из n испытаний.

Следствие 3. Теорема Бернулли. Если Х₁, Х₂, ..., Х_n - последовательность независимых случайных величин таких, что

М(Х₁)=М(Х₂) = ... = М(Х_n)=а,

М(Х₁)<C, D(X₂)<C, ..., D(X_n)<C, где С=const,

то, каково бы ни было постоянное число e > 0 имеет место предел:

(2.14.5)

Этот частный случай закона больших чисел позволяет обосновать правило средней арифметической.

Законы больших чисел не позволяют уменьшить неопределенность в каждом конкретном случае, они утверждают лишь о существовании закономерности при достаточно большом числе опытов. Например, если при подбрасывании монеты 10 раз появился герб, то это не означает, что в 11 раз появится цифра.

Правило трех сигм.

Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.
Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале

Воспользуемся

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределённой по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину равна

Доказательство.

Из последнего равенства можно сделать вывод о том, что нарушение "правила трёх сигм", т.е. отклонение нормально распределённой случайной величины X больше, чем на (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность достаточно мала:

Теорема Бернулли.

Определение 1. Числом сочетаний C_n^m из n элементов по m (m ≤ n) называется количество всех возможных способов, которыми можно выбрать m различных элементов из n, вычисляемое по формуле:

Cnm

Δ =

n! m!(n-m)!

.

Теорема 1. Пусть опыт G производится независимо n раз в одних и тех же условиях, причем некоторое событие A при каждом повторении опыте появляется с одной и той же вероятностью p = P(A). Тогда вероятность P_n(m) события B_n(m), состоящего в том, что при n повторениях опыта G событие A произойдет ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Pn(m)

Δ =

P(Bn(m)) = Cnm pm(1-p)n-m .

Замечание 1. Проверим справедливость этой формулы для n = 3 и m = 1. В этом случае

P3(1)

Δ =

P(B3(1)) = C31 p1(1-p)2 = 3p(1 - p) 2.

Представим событие B₃(1) в виде суммы трёх несовместных событий:

B3(1) = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3,

где события A_i и A_i состоят в том, что событие A произойдёт или не произойдёт в i-м опыте, i = 1,2,3. Поэтому по замечанию Л3.Р2.З2:

P3(1)

Δ =

P(B3(1)) = P(A1A2A3) + P(A1A2A3) + P(A1A2A3).

Так как события A₁, A₂, A₃, а так же A₁, A_2, A₃ независимы, то

P3(1) = P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3).

Поэтому P₃(1) = 3p(1 - p)². В общем случае формуле Бернулли доказывается аналогично.

Пример 1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет ровно три раза. В этом случае

n = 5, m = 3, p = 1/2, q

Δ =

1 - p = 1/2.

Тогда по формуле Бернулли

P₅(3) = C₅³ (1/2)³(1/2)² = 5/16.