Векторная система координат.

Билет №1.

1. Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

Векторная система координат.

Положение точки М определено, если радиус-вектор rиз центра О выражен функцией времени t r= r(t) Þ задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение:

tàr(t), тогда

(t+Δt)àr(t+Δt), получаем

Δr=r(t+Δt)-r(t) Þ

V_ср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt.

a_ср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt².

Переход от векторной формы к координатной:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.

Обратно:

x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k.

Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.

Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.

M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F₁+F₂)=BA×F₁+BA×F₂. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA×F₁=M₁, BA×F₂=M₂, M=M₁+M₂.

СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Дано: (F₁, F₁’), (F₂, F₂’)

Доказательство:

Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:

(Q₁,Q₁’) и (Q₂,Q₂’). При этом M₁=M(Q₁,Q₁’)=M(F₁, F₁’),

M₂=M(Q₂,Q₂’)=M(F₂, F₂’).

Сложим силы R=Q₁+Q₂, R’=Q₁’+Q₂’. Т. к. Q₁’= -Q₁, Q₂’= -Q₂ Þ R= -R’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q₁+Q₂)= BA×Q₁+BA×Q₂=M(Q₁,Q₁’)+ M(Q₂,Q₂’)=M(F₁,F₁’)+ M(F₂,F₂’) Þ M=M₁+M₂.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:

Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M₁+M₂+…+M_n=0.

Билет №2.

1. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Аксиомы статики.

Декартова система координат.

Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk.

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r׳(t) может быть вычислена по правилу

dr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt.

Отсюда вытекает, что v=v_xi+v_yj+v_zk.

V=√(v_x²+v_y²+v_z²)

Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А=x׳׳(t)I+y׳׳(t)j+z׳׳(t)k.

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

Аксиомы статики.

1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).

4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.

Билет №3.

1. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=dr/dt∙dS/dS=S׳(t)∙dr/dS=S׳(t)∙τ= =v_τ∙τ.Dr/dS=τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S.

A=dv/dt=S׳׳(t)∙τ+S׳(t)∙dτ/dt=S׳׳∙τ+ (S׳)²n/ρ. A_τ=S׳׳-тангенциальное ускорение, a_n=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.

A=√((a_τ)²+(a_n)²).

Билет №4.

1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº- единичный вектор. Тогда v=dr/dt=r׳rº+

rdrº/dt=r׳rº+rφ׳pº=v_rrº+v_ppº.v_p и v_r – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A=dv/dt=d(r׳rº+rφ׳pº)/ dt=r׳׳rº+r׳drº/dt+r׳φ׳pº+rφ׳׳pº+rφ׳∙

dpº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²)rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳)pº= a_r∙rº+a_ppº.

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

v_r=r׳=(xv_x+yv_y)/r,

v_p=rφ׳=(xv_y-yv_x)/r

Билет №5.

1. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.
2. Момент силы относительно оси.

Билет №6.

1. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.
2. Основные виды связей и их реакции.

Криволинейные координаты.

Устанавливают закон выбора 3 чисел q₁, q₂, q₃. q₁, q₂, q₃ – криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q₁,q₂,q₃) (из точки О).

Возьмем точку М₀ с координатами q₁,q₁₀,q_20.

X=X(q₁,q₂₀,q₃₀);

Y=Y(q₁,q₂₀,q₃₀);

Z=Z(q₁,q₂₀,q₃₀);

Определяют кривую (переменная только q₁). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q₁ (аналогично q₂ и q₃). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M₀ в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q₁], [q₂], [q₃].

H₁=

Коэффициент Ламе.

e₁=(∂r/∂q₁)/H₁.

Аналогично Н₂, Н₃, е₂, е₃.

Виды связей и их реакции.

Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

1)Гладкая поверхность – по общей нормали.

2)Нить – вдоль к точке закрепления.

3)Сферический шарнир – по любому радиусу.

4)Сферический шарнир – по любому радиусу.

5)Подпятник, подшипник – любое направление.

Дополнительно:

А) Скользящий;

Б) Внутренний.

Билет №7.

1. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

Билет №8.

1. Поступательное движение твердого тела. Число степеней свободы, уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Поступательное движение.

Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе.

Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы.

Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен r_B=r_A+AB, AB=const. dr_B/dt=dr_A/dt+ dAB/dt=dr_A/dt => v_B=v_A, a_B=a_A

Билет №9.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела.
2. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре – основная теорема статики.

Билет №10.

1. Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.
2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения.

Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.

1.Главный вектор R=∑F_i=const.

2.Скалярное произведение главного вектора и главного момента L_OR=const=F_xM_x+ F_yM_y+F_zM_z.

Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:

M_O1R= M_OR+(O₁OxR)R Þ Пр_R(L_O1)= Пр_R(L_O)=L_O1R∙ ∙cos(L_O1^R)= L_O2Rcos(L_O2^R).

L_O1xR_x+ L_O1yR_y +L_O1zR_z =L_O2xR_x +L_O2yR_y +L_O2zR_z

Приведение к простейшему виду:

1) M_O=0, R¹0 à к равнодействующей, равной R, проходящей через О.

2) R=0, M_O¹0 à к паре с моментом M_O (независимо от О).

R¹0, M_O¹0, M_O┴Ràк равнодействующей, равной R, проходящей через О₁: ОО₁=d= |M_O| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом M_O лежат в одной плоскости Þ

Þ силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’.

3) M_OR¹0, R¹0, M_O¹0, R не перпендикулярна M_O – приводится к динаме.

Доказательство: Разложим M_O на 2 составляющих: M₁ иM₂. M₂ представим в виде пары сил R’ и R”. Силы Rи R” уравновешиваются, а M₁ перенесем в точку O₁ (свободы).

В результате получили винт R’,M₁, проходящий через точку О₁.

Прямая, проходящая через точку О₁ – ось динамы.

Билет №11.

1. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.
2. Равновесие тела с учетом трения скольжения. Законы Кулона.

Билет №12.

1. Мгновенный центр скоростей, способы нахождения МЦС.
2. Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения.

МЦС. Способы нахождения.

При плоском движении твердого тела в каждый момент времени существует точка, скорость которой равна нулю. v_P=v_O+v_PO=0, v_O=ω∙OP=>OP= v_O/ω.

Способы нахождения:

1) на основе физического условия задачи.

2) На основе предваритель-ного определения скорости двух точек.

Билет №13.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы, углы Эйлера.
2. Условия равновесия произвольной системы сил в векторной и аналитической формах. Частные случаи.

Билет №14.

1. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС.
2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы. Пример применения: распределенные силы.

Теорема Вариньона.

Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольной точки О равен сумме моментов относительно той же точки.

Пусть система сил (F₁, F₂,…,F_n) приводит к равнодействующей R, проходящей через точку С пересечения линий действия сил. Возьмем произвольную точку О, тогда:

M_O(R)=rxR=rx∑F_i=∑(rxF_i)= ∑M_Oi(F_i).

Ч. т. д..

Билет №15.

1. Мгновенный центр ускорений. Частные случаи.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

МЦУ. Способы нахождения.

МЦУ – точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

a_Q=a_A+a_AQ=0. Угол между a_QA и QA tgα=a_BA^τ/a_BAⁿ=ε/ω², a_AQ=√a_AQ^τ+a_AQⁿ=AQ√ ε²+ω⁴ Þ

1 способ нахождения МЦУ:

Отложить от точки А под углом α=arctg(ε/ω²) к a_A отрезок AQ=a_A/√(ε²+ω⁴ в направлении круговой стрелки ε.

2 способ нахождении МЦУ основан на условии задачи – если ускорение какой-либо точки по условию задачи равно нулю, то эта точка является МЦУ.

Билет №16.

1. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
2. Аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.

Билет №17.

1. Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Билет №18.

1. Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
2. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Билет №19.

1. Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры.
2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор r_C=∑P_ir_i/P.

X_C=∑P_ix_i/P; Y_c=∑P_iy_i/P; Z_C=∑P_iz_i/P

Вес тела P=∑P_i, P_i – сила тяжести частицы.

Методы определения координат центра тяжести тела.

1) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.

2) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то

r_C=(V₁r_C1+V₂r_C2+…+V_nr_Cn)/V

Отрицательные массы:

r_C=V_сплr_C-V₁r_C1-…-V_nr_Cn, где V_k, r_Ck – объемы и радиус-векторы пустот тела.

3) Интегрирование: если тело нельзя разбить)

X_C=(∫xdV)/V, Y_C=(∫ydV)/V,

Z_C=(∫zdV)/V

Билет №20.

1. Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Опр-е ускорения точки в сложном движении

V_M=V_O+[ ωr]+ V_r

W_M=d V_M/dt=(d V_O/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d V_r/dt

dr/dt=[ ωr]+ V_r

W_M=W_o+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω V_r]+ [ ωV_r]+W_r

d V_r/dt=[ ω V_r]+ W_r

W_k=2[ω V_r]

W_M=W_L+W_r+W_K – кинематическая теорема Кариолиса

Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса

Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении.

Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении

Ускорение Кариолиса.

Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и V_r и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к V_r кажется видным против хода часовой стрелки.

Билет №21.

1. Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Примеры.
2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского.

Полное ускорение точки А, участвующей в сложном движении

a_A=a_r+a_e+2ω×v_r. Слагаемое a_К=2ω×v_r называется ускорением Кориолиса.

a_K=2ωv_rsin(ω,v_r). Частные случаи:

А) ωº0 – смена знака

Б) v_rº0 – относительный покой (смена знака движения).

В) sin(ω,v_r)º0, ω||v_r.

Правило Жуковского. Ускорение Кориолиса равно проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную ω, увеличенной в 2ω раз и повернутой на 90° в направлении круговой стрелки ω.

2. Пара сил. ∑ моментов сил, составляющих пару.

Пара сил – система 2-х равных по модулю и противоположных по направлению сил, действующих на твердое тело. ∑F=0; ∑M≠0.

Расстояние между линиями действия – плечо d. Пара сил характеризуется плоскостью действия, моментом пары.

ТЕОРЕМА: Векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из её сил относительно другой.

Доказательство:

M_O(F₁)+M_O(F₂)=r_AxF₁+r_AxF₂= r_AxF₁-r_BxF₁=(r_A-r_B) xF₁. Из сложения треугольником OA+AB=OB=>AB=OB-OA => M_O(F₁)+M_O(F₂)=ABxF₁=M_A(F₁) => сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.

Билет №22.

1. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.
2. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения.

Билет №23.

1. Определение ускорений точек плоской фигуры при известном положении МЦУ.
2. Система сходящихся сил. Условия равновесия.

Билет №24.

1. Способы определения углового ускорения при плоском движении твердого тела.
2. Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения.

Билет №25.

1. Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.
2. Центр тяжести тела. Методы определения положения центра тяжести.

Билет №26.

1. Пара вращений.
2. Теорема о приведении произвольной системы сил к паре – основная теорема статики.

Пара вращений.

При противоположных направлениях векторов ω_e и ω_r и равенстве их модулей (ω_e = ω_r), если условие ω_e=-ω_r выполняется на отрезке времени t₂-t₁, абсолютное движение будет поступательным. Такой случай сложения вращательных движений называется парой вращений.

Действительно, ω=ω_e+ω_r=

-ω_r+ω_r=0, и для любой точки тела справедливы соотношения: v=ω_e×r₁+ω_r×r₂=ω_e×(r₁-r₂)=ω_e×O_eO_r=ω_r×O_rO_e;

Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательного движения.

Билет №27.

1. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.
2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

Билет №28.

1. Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки.
2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.

Главный вектор, момент.

Пусть дана система сил (F₁, F₂,…,F_n).

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

R=∑F_k.

R_x=∑F_kx; cos(x,R)=R_x/R;

R_y=∑F_ky; cos(y,R)=R_y/R;

R_z=∑F_kz; cos(z,R)=R_z/R;

Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения).

L_x=∑M_x(F_k)

Билет №29.

1. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Билет №30.

1. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.
2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.

Главный вектор, момент.

Пусть дана система сил (F₁, F₂,…,F_n).

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

R=∑F_k.

R_x=∑F_kx; cos(x,R)=R_x/R;

R_y=∑F_ky; cos(y,R)=R_y/R;

R_z=∑F_kz; cos(z,R)=R_z/R;

Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения).

L_x=∑M_x(F_k)

Билет №1.

1. Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

Векторная система координат.

Положение точки М определено, если радиус-вектор rиз центра О выражен функцией времени t r= r(t) Þ задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение:

tàr(t), тогда

(t+Δt)àr(t+Δt), получаем

Δr=r(t+Δt)-r(t) Þ

V_ср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt.

a_ср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt².

Переход от векторной формы к координатной:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.

Обратно:

x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k.