Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Временные ряды

Основные проблемы при нарушении классических предположений

При моделировании реальных экономических процессов возникают ситуации, в которых условия классической модели регрессии оказываются нарушенными, а при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами:

1. Если имеется линейная связь экзогенных переменных, например х₂=b₀+b₁x₁, то МНК-оценки не будут существовать. Такая ситуация в эконометрике носит название проблемы мультиколлинеарности.

2. Если нарушается гипотеза о взаимной независимости случайной переменной , то возникает проблема автокорреляции.

3. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностъю. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностъю(непостоянством дисперсий отклонений).

Мультиколлинеарность

Если в модель включаются два или более тесно взаимосвязанных фактора, то наряду с уравнением регрессии появляется и другая зависимость. Мультиколлинеарность — тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель. Онаискажает величину коэффициентов регрессии и затрудняет их экономическую интерпретацию. Мультиколлинеарность возникает лишь в слу­чае множественной регрессии.

В решении проблемы мультиколлинеарности можно выде­лить несколько этапов.

1. Установление наличия мульти­коллинеарности.

2. Определение причин возник­новения мульти­коллинеарности.

3. Разработка мер по устранению мультиколлинеар­ности.

Способы определения наличия мультиколлинеарности:

1. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции.Факторы х_i и х_j могут быть признаны коллинеарными, если r_xixj > 0,8.

2. Исследование матрицы X’X. Если определитель матрицы X’X близок к нулю, то это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности.

3. Коэффициент детерминации R² достаточно высок, но не­которые из коэффициентов регрессии статистически незначи­мы, т.е. они имеют низкие t-статистики.

Выделяют следующие методы устранения или уменьшения мультиколлинеарности:

1. Сравнение значений линейных коэффициентов корреляции; при отборе факторов предпочтение отдается тому фактору, который более тесно, чем другие факто­ры, связан с результативным признаком, причем желательно, чтобы связь данного факторного при­знака с у была выше, чем его связь с другим фак­торным признаком.

2. Метод включения факторов; в модель включают­ся факторы по одному в определенной последова­тельности, после включения каждого фактора в модель рас­считывают ее характеристики и модель проверяют на достоверность.

3. Метод исключения факторов; в модель включаются все факторы, после построения уравнения ре­грессии из модели исключают фактор, коэффици­ент при котором незначим и имеет наименьшее значение t-критерия. Процесс исключения факторов продолжается до тех пор, пока все коэффициенты ре­грессии не будут значимы.

4. Получение дополнительных данных или новой выборки.

5. Изменение спецификации модели.

6. Использование предварительной информации о некоторых параметрах.

Автокорреляция

Автокорреляция (последовательная корреляция) опреде­ляется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные).

Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Методы определения автокорреляции:

1. Графический метод. По оси абсцисс отклады­ваются либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (либо оценки отклонений). По графику предполагают, имеются ли определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция. Отсутствие зависимости, скорее всего, свидетельствует об отсутствии автокорреляции. Можно также график дополнить графиком зависимости e_t от e_t-1.

2. Тест Дарбина-Уотсона.

Гетероскедастичность

Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностъю. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностъю(непостоянством дисперсий отклонений). Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов. Не существует однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако для проверки разработано много тестов и критериев. Наиболее популярные и наглядные: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфелда—Квандта.

Использование графического представления отклонений по­зволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняю­щей переменной X (либо линейной комбинации объясняющих переменных), а по оси ординат либо отклонения, либо их квадраты.

Если все отклонения находятся внутри полосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, то это говорит о независимости дисперсий от значений переменной X и их постоянстве, т.е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности.

Если наблюдаются некоторые систематические изменения в соотношениях между значениями переменной X и квадратами отклонений (линейная, квадратичная, гиперболическая и др. зависимости), то такие ситуации отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.

Временные ряды

Для характеристики и анализа различных социально-экономи­ческих явлений за определенный период применяют показатели и методы, характеризующие эти процессы во времени (динамике). Под временным рядомв экономике понимается последовательность наблю­дений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать у_t (t= 1,2,..., n), где п – число уровней. Последовательно расположенные во времени числовые показатели характеризуют уровень состояния и изменения явления или процесса.

Классификация временных рядов:

1. В зависимости от показателя времени, временные ряды бывают моментные (на определенную дату) и интервальные (за определенный период).

2. По форме представления уровни во временном ряду могут быть представлены абсолютными, средними и от­носительными величинами.

3. По расстоянию между уровнями временные ряды подразде­ляются на ряды с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями по времени. В равноотстоящих ря­дах даты регистрации периода следуют друг за другом с равными интервалами, в неравноотстоящихравные интервалы не соблю­даются.

4. По содержанию показатели временных рядов подразделяют на состоящие из частных показателей и агре­гированных показателей. Частные показатели характеризуют явления изолированно, односторонне (например, динамика показателей среднесуточного объема потребленной воды); агрегированные показатели являются производными от частных показателей и характеризуют изучаемое явление комплексно (например, динамика пока­зателей экономической конъюнктуры).

В общем виде при исследовании экономического временного ряда у_t выделяются несколько составляющих

где — тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры по­требления и т. п.);

, — сезонная компонента, отражающая повторяемость эконо­мических процессов в течение не очень длительного периода (года, иногда месяца, недели и т. д., например, объем продаж това­ров или перевозок пассажиров в различные времена года);

— случайная компонента, отражающая влияние не поддаю­щихся учету и регистрации случайных факторов.

Следует обратить внимание на то, что в отличие от первые составляющие , являются закономерными, неслучайными.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент называются аддитивными; как произведение – мультипликативными моделями временного ряда.

1. Аддитивная модель имеет вид .

2. Мультипликативная модель . Такую модель применяют в случае, если про­исходят существенные сезонные изменения

Среди наиболее распространенных методов анализа времен­ных рядов выделим корреляционный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов. Временной ряд (t= 1,2,..., n) называется стационарным, если совместное распределение вероятностей п наблюдений , ,..., такое же, как и п наблюдений , ,..., при любых , и . Иначе говоря, свойства стационарных рядов не зави­сят от момента , т. е. закон распределения и его числовые ха­рактеристики не зависят от . Поэтому математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение могут быть оценены по наблюдениям (t= 1,2,..., n) по формулам

, .

Степень тесноты связи между последовательностями наблю­дений временного ряда , ,..., и , ,..., (сдвинутых относительно друг друга на единиц, или, как говорят, с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

,

ибо , .

Так как коэффициент измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость – автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда , ( ) автокорреляционная функция зависит только от лага , причем .

Статистической оценкой является выборочный коэффициент автокорреляции , определяемый по формуле коэффициента корреляции:

Функцию называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой. При расчете следует помнить, что с увеличением число пар наблюдений , уменьшается, поэтому лаг должен быть таким, чтобы число было достаточным для определения . Обычно ориентируются на соотношение .