Нелинейная эмпирическая регрессия
Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не дает положительного результата. Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов.
Оценка параметров нелинейной регрессии по переменным, включенным в анализ, но линейным по оцениваемым параметрам, проводится с помощью МНК путем решения системы линейных алгебраических уравнений.
1. Степенные модели вида , где
– параметры модели.
|
|
Рис. 2. Зависимость ,
Прологарифмируем выражение :
и выполняем замену
,
,
,
. Тогда получим
. Полученная модель является линейной. Коэффициент
определяет эластичность переменной Y по переменной X и является константой.
Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например, . Здесь коэффициенты
и
являются эластичноcтями переменной Y по переменным X1 и X2 соответственно.
2. Показательная модель ,
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 3. Зависимость ,
Прологарифмируем выражение :
.
Выполним замену ,
,
,
, получим линейную модель
.
3. Логарифмические модели – это модели вида . Они сводится к линейной модели заменой
.
|
Рис. 4. Зависимость
4. Обратная модель. Модель вида заменой
,
приводится к линейной модели
. Модель вида
заменой
;
приводится к линейной модели
.
|
Рис. 5. Зависимость Рис. 6. Зависимость
Пример 4.По десяти районам за год известны доля расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах K(%)и средненедельная зарплата t одного работающего (ден. ед.). Получены следующие экспериментальные данные зависимости между и
, представленные в табл. 4.
Таблица 4
t | 5,6 | 6,4 | 6,8 | 7,2 | 7,6 | 8,4 | 8,8 | |||
K | 10,4 | 14,4 | 17,1 | 22,5 | 25,9 | 33,1 | 40,4 | 59,2 | 74,1 |
Найти эмпирическую функциональную зависимость .
Решение.
На плоскости переменных и
построим точки
и соединим их плавной кривой (рис. 15).
Рис. 15. Диаграмма исходных данных
По виду полученной диаграммы предполагаем, что для данного случая можно использовать зависимости или
.
Рассмотрим зависимость
.
Используя преобразование
,
зависимость преобразуем в линейную
. Найдем значения новых переменных X и Y и результаты расчетов занесем в табл. 5.
Таблица 5
![]() | 5,0 | 5,6 | 6,0 | 6,4 | 6,8 | 7,2 | 7,6 | 8,0 | 8,4 | 8,8 |
![]() | 0,096 | 0,069 | 0,058 | 0,044 | 0,039 | 0,030 | 0,024 | 0,020 | 0,016 | 0,013 |
Построив на плоскости OXY точки ,
(рис. 16), мы видим, что они расположены вдоль некоторой кривой, а не прямой линии.
Рис. 16.
Предположим теперь, что зависимость описывается формулой . Используя преобразование
, получим
.
Найдем значения новых переменных X и Y по формулам ;
и запишем в табл. 6
Таблица 6
![]() | 5,0 | 5,6 | 6,0 | 6,4 | 6,8 | 7,2 | 7,6 | 8,0 | 8,4 | 8,8 |
![]() | 2,34 | 2,67 | 2,84 | 3,11 | 3,25 | 3,50 | 3,70 | 3,91 | 4,08 | 4,31 |
На плоскости XOY построим точки ,
. Как видно на (рис. 17), они расположены вдоль некоторой прямой линии, следовательно, выбранная зависимость лучше соответствует исходным данным.
Рис. 17.
Параметры и
найдем МНК. Для вычисления коэффициентов системы составим табл. 7.
Таблица 7
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
10,4 | 2,3418 | 11,709 | |||
5,6 | 14,4 | 5,6 | 2,6672 | 31,36 | 14,936 |
17,1 | 2,8391 | 17,034 | |||
6,4 | 22,5 | 6,4 | 3,1135 | 40,96 | 19,926 |
6,8 | 25,9 | 6,8 | 3,2542 | 46,24 | 22,129 |
7,2 | 33,1 | 7,2 | 3,4995 | 51,84 | 25,197 |
7,6 | 40,4 | 7,6 | 3,6988 | 57,76 | 28,111 |
3,912 | 31,296 | ||||
8,4 | 59,2 | 8,4 | 4,0809 | 70,56 | 34,28 |
8,8 | 74,1 | 8,8 | 4,3054 | 77,44 | 37,888 |
∑ | 69,8 | 33,713 | 501,16 | 242,51 |
Составим нормальную систему уравнений
Решая ее, находим и
. Отсюда получаем значение параметра
. Таким образом, исходную зависимость можно описать функцией
.