Ковариация, коэффициент корреляции, их свойства. Двумерное равномерное гаусовское распределение.

Ковариа́ция (корреляционный момент) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.

Корреля́ция (корреляционная зависимость) — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.[1] Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение , либо коэффициент корреляции (или ) .

В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической[3].

Впервые в научный оборот термин «корреляция» ввёл французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века.[4]

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором — также и ее направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин.

Параметрические показатели корреляции: Ковариация

Важной характеристикой совместного распределения двух случайных величин является ковариация (или корреляционный момент). Ковариация являетcя совместным центральным моментом второго порядка.Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин: Где Е- математическое ожидание

Свойства ковариации:Ковариация двух независимых случайных величин Х и У равна нулю.

Абсолютная величина ковариации двух случайных величин Х и У не превышает среднего геометрического их дисперсий: .

Линейный коэффициент корреляции: