Некоторые комбинаторные формулы

Некоторые комбинаторные формулы

a) Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения P_n = n!

б) Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которыеотличаются либо составом элементов, либо их порядком A^m_n = n! / (n - m)!

в) Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом С ^m_n = n! / (m! (n - m)!)

4) Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события – А, U - пространства элементарных событий. Под мерой понимается

· в одномерном пространстве - длина

· в двумерном пространстве - площадь

· в трехмерном пространстве - объем

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что

5) Сущность аксиоматического построения научной теориисостоит в том, что в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории (теоремы, формулы, правила и приемы анализа) получаются как логические следствия аксиом. Аксиомы должны отражать реальные понятия и отношения между теоретическими построениями.

6) Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число. Условная вероятность определена только в случае, когда .

R – коэфф.корреляции

24) Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:

cov(X,Y)

=

n

n Σ k = 1

(xk-Mx)(yk-My)

25) Коэфф.корреляции и его свойства :

Коэффициент корреляции -это мера линейной зависимости двух случайных величин.

Свойства:

1)

если и независимы, то ;

2)

всегда ;

3)

тогда и только тогда, когда и линейно связаны

26) Центральная предельная теорема : Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) и дисперсиями D(X_i) .Тогда для любого действительного числа х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

27) Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение

28) Нера́венство Чебышёва утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему

Теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений

случайной величины и ее математическим ожиданием.

29) Различные формы Закона больших чисел :

Частный случай неравенства Чебышева (неравенство Маркова) :

Для любой неотрицательной случайной величины, имеющей математическое ожидание M(Х) и e > 0, справедливо неравенство

устанавливающее верхнюю границу оценки события

30) Выборкой называется совокупность элементов объекта социологического исследования, подлежащая непосредственному изучению.

Выборочное распределение— это распределение значений выборочных статистик, рассчитанных для каждой возможной выборки.

Выборочные моменты— это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки.

31) Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события :

Гистограммаиспользуется для графического представления распределений непрерывно варьирующих признакови состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников

32) Сходимость эмпирической функции распределения к теоретической имеет "равномерный" характер.

Теорема Гливенко — Кантелли:

Пусть — выборка объема из неизвестного распределения с функцией распределения . Пусть — эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда

33) Свойства гистограммы :

Пусть распределение абсолютно непрерывно, — его истинная плотность. Пусть, кроме того, число интервалов группировки не зависит от

Теорема:

При для любого

34) Вы́борочное сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него

Свойства:

 Пусть — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного функция является функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно .

 Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего

 Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего

 Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка

 Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

35) Выборочная дисперсия— это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки

Свойства:

1) Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения

2) Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии.

3) Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённой

4) Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат

36) Параметрические семейства распределений :

Предположим, что имеется выборка объема , элементы которой , , независимы, одинаково распределены и имеют распределение , известным образом зависящее от неизвестного параметра .

Здесь — некий класс распределений, целиком определяющихся значением скалярного или векторного параметра . Параметр принимает значения из некоторого множества .

Например, для всех

• имеют распределение Пуассона , где — неизвестный параметр; здесь , , ;
• имеют распределение Бернулли , где — неизвестный параметр; здесь , , ;
• имеют равномерное распределение , где — неизвестные параметры; здесь , , ;
• имеют равномерное распределение , где — неизвестный параметр; здесь , ;
• имеют нормальное распределение , где , — неизвестные параметры; здесь , , ;
• имеют нормальное распределение , где — неизвестный параметр; здесь , , .

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение

37) МОМЕНТОВ МЕТОД - метод определения распределения вероятностей по его моментам

Метод моментов заключается в приравнивании выборочных моментов к соответствующим моментам распределения и нахождении оценок неизвестных параметров из системы уравнений:

.

38) Состоятельность оценок метода моментов :

Теорема:

Пусть — оценка параметра , полученная по методу моментов, причем функция непрерывна. Тогда состоятельна.

39) Метод максимального правдоподобия:

За оценку параметров принимается такая оценка,которая доставляет максимум функции правдоподобия L (x, )

40) Неравенство Рао — Крамера. (Неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра)

Для любой несмещенной оценки , дисперсия которой ограничена на любом компакте в области , справедливо неравенство

I-информация Фишера ,n-объем выборки

41)Оценка, у которой дисперсия будет наименьшей относительно оцениваемого параметра, называется эффективной(дисперсия эффективной оценки совпадает с нижней гранью в неравенстве Крамера-Рао.)

42) ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ - способ получения оценки для неизвестного значения скалярного параметра с помощью интервала его допустимых значений и определения вероятности того, что в этом интервале находится истинное значение параметра.

Общий принцип построения доверительных интервалов :

1) Находим статистику , зависящую от неизвестного параметра , закон распределения которой известен

2) Находим квантили и распределения статистики , такие что .Обычно в качестве выбирают квантили распределения статистики уровней и соответственно.

3) Разрешив неравенство относительно , находим границы доверительного интервала.

Аналогично находится и асимптотический доверительный интервал, с той лишь разницей, что на первом этапе находим статистику закон распределения которой при

Некоторые комбинаторные формулы

a) Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения P_n = n!

б) Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которыеотличаются либо составом элементов, либо их порядком A^m_n = n! / (n - m)!

в) Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом С ^m_n = n! / (m! (n - m)!)

4) Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события – А, U - пространства элементарных событий. Под мерой понимается

· в одномерном пространстве - длина

· в двумерном пространстве - площадь

· в трехмерном пространстве - объем

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что

5) Сущность аксиоматического построения научной теориисостоит в том, что в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории (теоремы, формулы, правила и приемы анализа) получаются как логические следствия аксиом. Аксиомы должны отражать реальные понятия и отношения между теоретическими построениями.

6) Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число. Условная вероятность определена только в случае, когда .