Закон больших чисел и его след-вие. Нер-ство Чебышева.
Закон больших чиселв тер вер утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распр-ния близко к теоретич среднему (мате ожиданию) этого распределения. В зав-ти от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вер-сти, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.
Всегда найдётся такое кол-во испытаний, при кот с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общ смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случ факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
На этом свойстве основаны методы оценки вер-сти на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.
Закон больших чисел – это несколько теорем, опр-щих общ усл, при кот среднее значение случайных величин стремится к некоторой const при проведении большого числа опытов (теоремы Чебышева и Бернулли).
Если существует последовательность
таких, что для любых ε>0, выполняется условие:
(*)
Последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными функциями
:
Если в выражении (*) , то говорят, что случайная величина
сходится по вероятности к а.
В данных терминах означает, что вел-на ηn-an сходится по вероятности к нулю.
Неравенство Чебышева
Для любой случайной величины ξ(кси), имеющей M[ξ] и D[ξ] при каждом ε>0 имеет место неравенство(неравенство Чебышева):
Док-во:ξ£η, M[ξ]£M[η]
Рассмотр. некотор.сл.вел-ну η
24. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Закон больших чисел утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распр-ния близко к теоретическому среднему (мат ожиданию) этого распределения.
limP(|1/n сумма (Xi )- a| <=e)=1
n-& i=1
Смысл закона закл . в том, что средние значения случайных величин стремятся к их мат. ожиданию при n- & по вероятн. отклонение средн. значений от мат.ожидания стан-ся сколь угодно малым с вероятностью, близкой к 1, если n достаточно велико или вероятность любого откл. средн. знач. от а сколь угодно мала с ростом n.
Центральная предельная теорема.Пусть есть бесконечная послед-сть независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние
и
, соответственно. Пусть также
.
Тогда по распределению при n
,
где N (0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n величин, то есть
, мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
по распределению при n
/