Предельные теоремы теории вероятностей
Ранее отмечалось, что теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Эти закономерности отражают устойчивость массовых случайных явлений. В широком смысле под устойчивостью понимается то, что при очень большом числе случайных явлений средний результат перестаёт быть случайным. В узком смысле под устойчивостью понимается ряд, в каждом из которых устанавливается факт приближения степени результатов опыта к некоторым определённым постоянным.
Другая группа теорем устанавливает условия, при которых наступает определённый закон распределения случайной величины.
Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева утверждает: каково бы ни было положительное число a, вероятность того, что случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, большую или равную этому числу (числу a), ограничена сверху величиной , т.е. справедливо неравенство:
(1)
где - математическое ожидание случайной величины;
- дисперсия.
Доказательство: Приведём доказательство этого неравенства для дискретной случайной величины (оно здесь более наглядно). Представим дискретную случайную величину в виде точек на числовой оси:
На этой оси отложим точку, соответствующую математическому ожиданию, относительно которой отложим отрезки -a и a. Известно, что дисперсия дискретной случайной величины:
(2)
Наряду с выражением (2) рассмотрим две суммы:
(3)
(4)
- это точки лежащие правее/левее отрезков -a и a.
Из выражений (2), (3) и (4) можно записать систему неравенств: (5)
Выражение (4) можно представить в виде: (6)
Тогда можно записать неравенство в виде: (7)
Отсюда следует:
Аналогичным образом это неравенство можно доказать и для непрерывной случайной величины.
Частная теорема Чебышева
Эта теорема устанавливает связь между среднеарифметическим результатом наблюдений за случайной величиной и её математическим ожиданием. Пусть имеется некоторая случайная величина Х, над которой проводятся результаты наблюдений (опыт): . При этом каждый из n опытов независим, а результат опыта рассматривается как случайная величина с характеристиками, соответствующими характеристикам исследуемой случайной величины, т.е. можно записать:
(1)
(2)
Где и
- соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х.
Известно, что среднеарифметическое результатов наблюдения определяется по формуле: (3)
Т.е. среднеарифметическое результатов наблюдений представляет собой произведение неслучайной величины на сумму случайных величин с одинаковыми характеристиками.
Определим характеристики среднеарифметического результатов наблюдений.
Математическое ожидание будет равно:
(4)
На основании теоремы о математическом ожидании произведения случайной величины на случайную и теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин выражение (4) можно записать в виде:
(5)
С учётом равенства (1) данное выражение также можно представить: (6)
Таким образом, математическое ожидание среднеарифметического результатов наблюдений равняется математическому ожиданию случайной величины.
С учётом того, что случайные величины независимы, и дисперсии этих случайных величин равны между собой, то на основании теоремы о дисперсии произведения неслучайной величины на случайную и теоремы о дисперсии суммы независимых случайных величин дисперсию среднеарифметического значения можно записать в виде:
(7)
Таким образом, дисперсия среднеарифметического значения в n раз меньше дисперсии исследуемой случайной величины.
На основании выражений (6) и (7) Чебышевым была сформулирована теорема.
"Т" При достаточно большом числе независимых испытаний над случайной величиной Х среднеарифметическое результатов наблюдений сходится по вероятности к математическому ожиданию случайной величины Х.
Эта теорема в аналитическом виде задаётся выражением: (8)
где и
(дэльта) – сколь угодно малые, но конечные величины.
Доказательство: На основании неравенства Чебышева с учётом выражения (6) и (7) можно записать:
(9)
Если от неравенства (9) на основании понятия о противоположном событии перейти к неравенству вида:
(10)
то можно заметить, что для любого числа (дэльта) можно подобрать такой объём выборки n, что будет выполняться условие:
(11)
С учётом неравенства (11) неравенство (10) можно записать в виде:
(12), что и требовалось доказать.
Общая теорема Чебышева
Данная теорема формулируется следующим образом:
"Т" Если случайные величины независимы с математическими ожиданиями
, в общем случае неравными друг другу, и дисперсиями
, также неравными друг другу, то максимальное значение дисперсии ограничено сверху некоторой величиной
, тогда справедлива теорема:
Среднеарифметическое результатов наблюдений над данной системой случайных величин сходится по вероятности к среднеарифметическому их математических ожиданий при неограниченном увеличении числа опытов над данной системой.
Данная теорема записывается в виде:
(13) где
и
(дэльта) – сколь угодно малые величины.
Теорема Бернулли и Пуассона
Частным случаем теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.
Известно, что если проводится серия опытов, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью Р, то статистической вероятностью данного события будет являться выражение:
(1),
где n – число опытов,
m – число опытов, в которых появилось событие.
Теорема Бернулли утверждает:
"Т" При неограниченном увеличении числа опытов, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью Р, статистическая частота этого события сходится по вероятности к вероятности появления события в отдельном испытании.
Данную теорему можно записать в виде:
(2)где
и
(дэльта) – сколь угодно малые, но конечные величины.
Доказательство: статистическую вероятность события можно представить в виде суммы случайных величин, делённой на число испытаний:
(3)
При этом каждая из случайных величин независима от других (так как опыты независимы). Эти случайные величины имеют одно и то же распределение вида:
(
)
Соответственно, характеристики каждой из случайных величин таковы:
На основании теорем о числовых характеристиках можем записать, что математическое ожидание статистической вероятности равняется:
(4)
То есть математическое ожидание статистической вероятности равняется вероятности появления события в отдельном испытании.
На основании теоремы о дисперсии функции от случайных величин дисперсия статистической вероятности будет определяться выражением:
(5)
С учётом характеристик статистической вероятности неравенство Чебышева можно записать в виде:
(6)
Данное неравенство, выраженное через противоположное событие, будет иметь вид:
(7)
Для любого можно подобрать такое число наблюдений
, что будет выполнено условие:
, какое бы
ни было; (8)
тогда можно перейти к неравенству вида:
(9)
Если проводится испытаний и в каждом испытании вероятности появления события различны, то в этом случае справедлива теорема Пуассона, утверждающая:
"Т" Если проводится испытаний и в i-том испытании вероятность появления события равна
, то при неограниченном увеличении числа опытов
статистическая вероятность сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей появления событий.
(Это вообщем-то частный случай общей теоремы Бернулли). Записывается эта теорема в виде:
(10)