Приращение аргумента и приращение функции.
На рисунке 
- приращение аргумента в точке 
, 
- приращение функции в точке 
.
Задание. Вычислите приращение функции 
в произвольной точке, если:
а) 
; б) 
.
| № | План вычисления приращения | Применение | плана |
| шага | функции | а)  | б) |
Фиксируем произвольное значение аргумента и находим значение функции  |  ,  |  ,  | |
Задаем приращение  и находим значение функции  |  ,    . |  ,  | |
Находим приращение функции:   |    |   |
Пример1. Вычислите приращение функции 
в произвольной точке х0, если:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
.
Производная функции.
Определение. Производной функции 
в заданной точке xназывается предел отношения приращения функции 
в этой точке к приращению аргумента 
, когда стремится к нулю, т.е.
.
Задание. Вычислите производную функции 
в точке 
, если:
а) 
; б) 
.
| № | План вычисления производной | Применение | плана |
| шага | функции | а)  | б)  |
| Фиксируем точку x и даем аргументу приращение |  | | |
Вычисляем приращение функции  |     |   | |
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:  |   |  | |
Вычисляем производную  |   |     | |
Вычисляем  |  |  |
Пример2. Вычислите производные следующих функций:
1) 
в точке 
; 2) 
в точке 
; 3) 
в точке 
; 4) 
в точке 
; 5) 
в точке 
; 6) 
в точке 
;
7) 
в точке 
; 8) 
в точке 
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1.
1. Найдите приращение функции f в точке 
, если 
.
2. Найдите приращения 
и 
в точке 
, если 
.
3. Найдите производную функции f в точке 
по определению, если 
при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону 
, в момент времени 
, если 
.
Вариант 2.
1. Найдите приращение функции f в точке , если 
.
2. Найдите приращения и в точке , если 
.
3. Найдите производную функции f в точке по определению, если 
при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени 
, если 
.
Вариант 3.
1. Найдите приращение функции f в точке , если 
.
2. Найдите приращения и в точке , если 
.
3. Найдите производную функции f в точке по определению, если 
при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если 
.
Вариант 4.
1. Найдите приращение функции f в точке , если 
.
2. Найдите приращения и в точке 
, если 
.
3. Найдите производную функции f в точке по определению, если 
при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если 
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2
«Вычисление производных алгебраических функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных алгебраических функций».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. Ответить на контрольные вопросы:
а) Сформулируйте определение функции.
б) Сформулируйте правила вычисления производных алгебраических функций.
в) В чем состоит механический смысл производной?
г) Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
2. По образцу выполнить тренировочные задания.