Базис и ранг системы векторов
СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
1.1.Разложение вектора по системе векторов
Векторk1a1 + k2a2 + … + knanназывается линейной комбинацией векторов
a1, a2, … , anскоэффициентамиk1, k2, … , kn .
Вектор bлинейно выражается через векторы a1, a2, … , an,если
b = k1a1 + k2a2 + … + knan .
В этом случае говорят также, что bразлагается по векторам a1, a2, … , an. Каждый
n-мерный вектор b = { b1, b2, … , bn } однозначно разлагается по диагональной системе
e1 = {1, 0, … , 0},
e2 = {0, 1, … , 0},
. . . . . . . . . . . . . .
en = {0, 0, … , 1}
с коэффициентами, которые равны координатам вектора b:
b = b1e1 + b2e2 + … + bnen.
Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов a1, a2, … , anдостаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений
a1x1 + a2x2 + … + anxn= b.
Пример.
Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a1, a2, … , an:
b = { 2, 7, 17 , 0}, a1 = { 2, 4, 3 , 0}, a2 = { –3, 0, 1 , 3}, a3 = { 1, –1, 10, –3}.
Р е ш е н и е.Ищем общее решение системы уравнений
a1x1 + a2x2 + a3 x3= b
методомГаусса. Для этого запишем эту систему по координатам:
Расширенная матрица системы
~
~
~
~
~
.
Разрешенная система имеет вид: (rA = rA|B = 3, n = 3).
Система определена: х3 = 1, х2 = 1, х1 = 2.
Следовательно, b= 2a1+ a2+ a3.
Задания.Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a1, a2, … , an :
1. b = { 2, 2, 3 , 3}, a1 = { 1, 2, 3 , 1}, a2 = { 2, 1, 2 , 3}, a3 = { 3, 2, 4, 4}.
2. b = { 4, 1, 3 , 1}, a1 = { 2, 0, 1 , 1}, a2 = { 1, 1, 2 , -2}, a3 = { 2, 1, 3, -3 }.
3. b = { -1, 1, 3 , 1}, a1 = { 1, 2, 1 , 1}, a2 = { 1, 1, 1 , 2}, a3 = { -3, -2, 1, -3}.
4. b = { 1, 0, 0 , 1}, a1 = { 2, 1, 1 , 3}, a2 = { 3, 0, -1 , 2}, a3 = { 1, -1, 0,1},
a4 = { 1, 0, -2, -1 }.
5. Показать, что ни один из векторов диагональной системы не разлагается по остальным ее векторам.
6. Вектор b разлагается по системе векторов a1, a2, … , am . Доказать, что каждый вектор системы b+a1, b+a2, … , b+am разлагается по системе a1, a2, … , am .
1.2.Линейная зависимость
Система векторов a1, a2, … , anназывается линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k1, k2, … , kn , не все равные нулю, что
k1a1 + k2a2 + … + knan = Θ, гдеΘ = {0, 0, … , 0}.
Система векторов a1, a2, … , anназывается линейно независимой, если из каждого соотношения вида k1a1 + k2a2 + … + knan = Θследует
k1=k2= … =kn=0.
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений
a1x1 + a2x2 + … + anxn= Θ
имеет ненулевое решение. Система векторов линейно н е зависима тогда и только тогда, когда система уравнений a1x1 + a2x2 + … + anxn= Θимеет только нулевое решение.
Вектор b разлагается по линейно независимой системе a1, a2, … , an тогда и только тогда, когда a1, a2, … , an, b – линейно зависимая система векторов.
Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.
Если каждый вектор системы b1, b2, … , bn разлагается по векторам a1, a2, … , am и n>m, то b1, b2, … , bn – линейно зависимая система векторов.
Пример 1.
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
a1 = { 3, 5, 1 , 4}, a2 = { –2, 1, -5 , -7}, a3 = { -1, –2, 0, –1}.
Р е ш е н и е.Ищем общее решение системы уравнений
a1x1 + a2x2 + a3 x3= Θ
методомГаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:
Матрица системы
~
~
~
.
Разрешенная система имеет вид: (rA = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x2– свободная переменная ): x3 = 13x2;x1=5x2 =>
=>Xo = .Наличие ненулевого частного решения, например,
, говорит о том, векторы a1, a2, a3 линейно зависимы.
Пример 2.
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a1 = { -20,-15, -4}, a2 = { –7, -2, -4}, a3 = { 3, –1, –2}.
Р е ш е н и е.Рассмотрим однородную систему уравнений a1x1 + a2x2 + a3x3 = Θ
или в развернутом виде (по координатам)
Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.
Проверяем систему на вырожденность:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Система невырождена и ,т.о., векторы a1, a2, a3 линейно независимы.
Задания.Выяснить,является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a1 = { -4, 2, 8}, a2 = { 14, -7, -28}.
2. a1 = { 2, -1, 3, 5}, a2 = { 6, -3, 3, 15}.
3. a1 = { -7, 5, 19}, a2 = { -5, 7 , -7}, a3 = { -8, 7, 14}.
4. a1 = { 1, 8 , -1}, a2 = { -2, 3, 3}, a3 = { 4, -11, 9}.
5. a1 = {0, 1, 1 , 0}, a2 = {1, 1 , 3, 1}, a3 = {1, 3, 5, 1}, a4 = {0, 1, 1, -2}.
6. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:
а) два равных вектора;
б) два пропорциональных вектора.
7. Ненулевой вектор b разлагается по системе a1, a2, a3 и по системе a4, a5, a6. Доказать,
что a1, a2, a3,a4, a5, a6 линейно зависимая система векторов.
8. Доказать, что векторы a2-a1, a3-a1 не пропорциональны, если a1, a2, a3– линейно
независимые векторы.
Пример.
Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:
а1={5, 2, -3, 1}, а2={4, 1, -2, 3}, а3={1, 1, -1, -2}, а4={3, 4, -1, 2}, а5={13, 8, -7, 4}.
Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
а1х1 +а2х2 +а3х3 +а4х4 +а5х5= 0
или в развернутом виде .
Будем решать эту систему методом Гаусса, не меняя местами строки и столбцы, и, кроме того, выбирая главный элемент не в верхнем левом углу, а по всей строке.Задача состоит в том, чтобы выделить диагональную часть преобразованной системы векторов.
~
~
~
~
~
.
Разрешенная система векторов, равносильная исходной, имеет вид
а11х1 +а21х2 +а31х3 +а41х4 +а51х5= 0,
где а11= , а21=
, а31=
, а41=
, а51=
. (1)
Векторы а11,а31, а41образуют диагональную систему. Следовательно, векторы а1,а3, а4 образуют базис системы векторов а1,а2, а3, а4, а5.
Разложим теперь векторы а2иа5 по базису а1,а3, а4. Для этого сначала разложим соответствующие векторы а21иа51 по диагональной системеа11,а31, а41, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты xi.
Из (1) имеем:
а21= а31· (-1) + а41· 0 + а11·1 =>а21= а11 –а31.
а51= а31· 0 + а41· 1 + а11·2 =>а51= 2а11 +а41.
Векторы а2иа5 разлагаются по базису а1,а3, а4 с теми же коэффициентами, что и векторы а21иа51 по диагональной системе а11,а31, а41 (те коэффициенты xi). Следовательно,
а2= а1 –а3, а5= 2а1 +а4.
Задания. 1.Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:
1. a1 = { 1, 2, 1}, a2 = { 2, 1, 3}, a3 = { 1, 5, 0 }, a4 = { 2, -2, 4}.
2. a1 = { 1, 1, 2}, a2 = { 0, 1, 2}, a3 = { 2, 1, -4 }, a4 = { 1, 1, 0}.
3. a1 = { 1, -2, 3}, a2 = { 0,1, -1}, a3 = { 1, 3, 0}, a4 = { 0, -7, 3 }, a5 = { 1, 1, 1}.
4. a1 = { 1, 2, -2}, a2 = { 0, -1, 4}, a3 = { 2, -3,3 }.
2.Найти все базисы системы векторов:
1. a1 = { 1, 1, 2}, a2 = { 3, 1, 2}, a3 = { 1, 2, 1 }, a4 = { 2, 1, 2}.
2. a1 = { 1, 1, 1}, a2 = { -3, -5, 5}, a3 = { 3, 4, -1 }, a4 = { 1, -1, 4}.
Пример.
Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:
а1={2, 0, 1, 1}, а2={1, 2, 0, 1}, а3={0, 1, -2, 0}.
Р е ш е н и е. Полагаем b1 = a1. Затем строим векторы b2 и b3.
b2 = a2 – b1 = {1, 2, 0, 1} –
·{2, 0, 1, 1} = {1, 2, 0, 1} –
·{2, 0, 1, 1} =
= {0, 2, – ,
};
b3 = a3 – b1–
b2 = {0, 1, -2, 0} –
·{2, 0, 1, 1}–
– ·{0, 2, –
,
}= {0, 1, -2, 0} – (–
) ·{2, 0, 1, 1}–
·{0, 2, –
,
}=
= {0, 1, -2, 0} +{ , 0,
,
}–{0,
, –
,
}={
, –
, –
, 0}.
Т.о., векторыb1 = {2, 0, 1, 1}, b2 = {0, 2, – ,
}, b3 = {
, –
, –
, 0} являются результатом ортогонализации исходной системы векторов.
Задания. 1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:
1. {0, 1, 1}, {1, 1, 1}, {-3, 3, 1}.
2. {1, -1, 1}, {2, 1, 2}, {3, 1, 1}.
3. {1, -2, 1}, {0, 1, -4}, {2, -3, -2}, {7, 4, 1}.
4. {-1, 1, 1, 1}, {0, 2, 1, 1}, {1, 1, 1, 3}.
2. Преобразовать систему векторов
{1, -1, 1, 1}, {-1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, -1} в ортонормированную.
СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
1.1.Разложение вектора по системе векторов
Векторk1a1 + k2a2 + … + knanназывается линейной комбинацией векторов
a1, a2, … , anскоэффициентамиk1, k2, … , kn .
Вектор bлинейно выражается через векторы a1, a2, … , an,если
b = k1a1 + k2a2 + … + knan .
В этом случае говорят также, что bразлагается по векторам a1, a2, … , an. Каждый
n-мерный вектор b = { b1, b2, … , bn } однозначно разлагается по диагональной системе
e1 = {1, 0, … , 0},
e2 = {0, 1, … , 0},
. . . . . . . . . . . . . .
en = {0, 0, … , 1}
с коэффициентами, которые равны координатам вектора b:
b = b1e1 + b2e2 + … + bnen.
Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов a1, a2, … , anдостаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений
a1x1 + a2x2 + … + anxn= b.
Пример.
Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a1, a2, … , an:
b = { 2, 7, 17 , 0}, a1 = { 2, 4, 3 , 0}, a2 = { –3, 0, 1 , 3}, a3 = { 1, –1, 10, –3}.
Р е ш е н и е.Ищем общее решение системы уравнений
a1x1 + a2x2 + a3 x3= b
методомГаусса. Для этого запишем эту систему по координатам:
Расширенная матрица системы
~
~
~
~
~
.
Разрешенная система имеет вид: (rA = rA|B = 3, n = 3).
Система определена: х3 = 1, х2 = 1, х1 = 2.
Следовательно, b= 2a1+ a2+ a3.
Задания.Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a1, a2, … , an :
1. b = { 2, 2, 3 , 3}, a1 = { 1, 2, 3 , 1}, a2 = { 2, 1, 2 , 3}, a3 = { 3, 2, 4, 4}.
2. b = { 4, 1, 3 , 1}, a1 = { 2, 0, 1 , 1}, a2 = { 1, 1, 2 , -2}, a3 = { 2, 1, 3, -3 }.
3. b = { -1, 1, 3 , 1}, a1 = { 1, 2, 1 , 1}, a2 = { 1, 1, 1 , 2}, a3 = { -3, -2, 1, -3}.
4. b = { 1, 0, 0 , 1}, a1 = { 2, 1, 1 , 3}, a2 = { 3, 0, -1 , 2}, a3 = { 1, -1, 0,1},
a4 = { 1, 0, -2, -1 }.
5. Показать, что ни один из векторов диагональной системы не разлагается по остальным ее векторам.
6. Вектор b разлагается по системе векторов a1, a2, … , am . Доказать, что каждый вектор системы b+a1, b+a2, … , b+am разлагается по системе a1, a2, … , am .
1.2.Линейная зависимость
Система векторов a1, a2, … , anназывается линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k1, k2, … , kn , не все равные нулю, что
k1a1 + k2a2 + … + knan = Θ, гдеΘ = {0, 0, … , 0}.
Система векторов a1, a2, … , anназывается линейно независимой, если из каждого соотношения вида k1a1 + k2a2 + … + knan = Θследует
k1=k2= … =kn=0.
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений
a1x1 + a2x2 + … + anxn= Θ
имеет ненулевое решение. Система векторов линейно н е зависима тогда и только тогда, когда система уравнений a1x1 + a2x2 + … + anxn= Θимеет только нулевое решение.
Вектор b разлагается по линейно независимой системе a1, a2, … , an тогда и только тогда, когда a1, a2, … , an, b – линейно зависимая система векторов.
Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.
Если каждый вектор системы b1, b2, … , bn разлагается по векторам a1, a2, … , am и n>m, то b1, b2, … , bn – линейно зависимая система векторов.
Пример 1.
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
a1 = { 3, 5, 1 , 4}, a2 = { –2, 1, -5 , -7}, a3 = { -1, –2, 0, –1}.
Р е ш е н и е.Ищем общее решение системы уравнений
a1x1 + a2x2 + a3 x3= Θ
методомГаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:
Матрица системы
~
~
~
.
Разрешенная система имеет вид: (rA = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x2– свободная переменная ): x3 = 13x2;x1=5x2 =>
=>Xo = .Наличие ненулевого частного решения, например,
, говорит о том, векторы a1, a2, a3 линейно зависимы.
Пример 2.
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a1 = { -20,-15, -4}, a2 = { –7, -2, -4}, a3 = { 3, –1, –2}.
Р е ш е н и е.Рассмотрим однородную систему уравнений a1x1 + a2x2 + a3x3 = Θ
или в развернутом виде (по координатам)
Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.
Проверяем систему на вырожденность:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Система невырождена и ,т.о., векторы a1, a2, a3 линейно независимы.
Задания.Выяснить,является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a1 = { -4, 2, 8}, a2 = { 14, -7, -28}.
2. a1 = { 2, -1, 3, 5}, a2 = { 6, -3, 3, 15}.
3. a1 = { -7, 5, 19}, a2 = { -5, 7 , -7}, a3 = { -8, 7, 14}.
4. a1 = { 1, 8 , -1}, a2 = { -2, 3, 3}, a3 = { 4, -11, 9}.
5. a1 = {0, 1, 1 , 0}, a2 = {1, 1 , 3, 1}, a3 = {1, 3, 5, 1}, a4 = {0, 1, 1, -2}.
6. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:
а) два равных вектора;
б) два пропорциональных вектора.
7. Ненулевой вектор b разлагается по системе a1, a2, a3 и по системе a4, a5, a6. Доказать,
что a1, a2, a3,a4, a5, a6 линейно зависимая система векторов.
8. Доказать, что векторы a2-a1, a3-a1 не пропорциональны, если a1, a2, a3– линейно
независимые векторы.
Базис и ранг системы векторов
Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:
1) эта часть является линейно независимой системой векторов;
2) каждый вектор системы разлагается по векторам этой части.
Диагональная система векторов является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части.
Если система уравнений
a1x1 + a2x2 + … + anxn= Θ
является разрешенной, то векторы-коэффициенты при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную часть системы векторов a1, a2, … , an.
Векторы системы разлагаются по базису этой системы е д и н с т в е н н ы м образом.
Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.
Все базисы данной системы состоят из одного и того же числа векторов.
Рангомсистемы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из rвекторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.
Вектор bтогда и только тогда разлагается по системе векторов a1, a2, … , am, когда ранги систем a1, a2, … , am и a1, a2, … , am, b равны.
Построение базиса системы векторовa1, a2, … , an и разложений векторов по базису:
1) Рассмотреть систему уравнений a1x1 + a2x2 + … + anxn = Θи найти равносильную ей разрешенную систему уравнений
a´1x1 + a´2x2 + … + a´nxn = Θ.
2) Найти диагональную часть системы векторов a´1, a´2, … , a´n.
3) Отметить векторы системы a1, a2, … , an, соответствующие диагональной части системы a´1, a´2, … , a´n;они образуют базис системы a1, a2, … , an.
4) Разложить вектор a´jпо диагональной части системы a´1, a´2, … , a´n; вектор aj, 1 ≤ j≤n, разлагается по базису, найденному в пункте 3, с коэффициентами разложения a´jпо диагональной части системы a´1, a´2, … , a´n.
Пример.
Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:
а1={5, 2, -3, 1}, а2={4, 1, -2, 3}, а3={1, 1, -1, -2}, а4={3, 4, -1, 2}, а5={13, 8, -7, 4}.
Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
а1х1 +а2х2 +а3х3 +а4х4 +а5х5= 0
или в развернутом виде .
Будем решать эту систему методом Гаусса, не меняя местами строки и столбцы, и, кроме того, выбирая главный элемент не в верхнем левом углу, а по всей строке.Задача состоит в том, чтобы выделить диагональную часть преобразованной системы векторов.
~
~
~
~
~
.
Разрешенная система векторов, равносильная исходной, имеет вид
а11х1 +а21х2 +а31х3 +а41х4 +а51х5= 0,
где а11= , а21=
, а31=
, а41=
, а51=
. (1)
Векторы а11,а31, а41образуют диагональную систему. Следовательно, векторы а1,а3, а4 образуют базис системы векторов а1,а2, а3, а4, а5.
Разложим теперь векторы а2иа5 по базису а1,а3, а4. Для этого сначала разложим соответствующие векторы а21иа51 по диагональной системеа11,а31, а41, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты xi.
Из (1) имеем:
а21= а31· (-1) + а41· 0 + а11·1 =>а21= а11 –а31.
а51= а31· 0 + а41· 1 + а11·2 =>а51= 2а11 +а41.
Векторы а2иа5 разлагаются по базису а1,а3, а4 с теми же коэффициентами, что и векторы а21иа51 по диагональной системе а11,а31, а41 (те коэффициенты xi). Следовательно,
а2= а1 –а3, а5= 2а1 +а4.
Задания. 1.Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:
1. a1 = { 1, 2, 1}, a2 = { 2, 1, 3}, a3 = { 1, 5, 0 }, a4 = { 2, -2, 4}.
2. a1 = { 1, 1, 2}, a2 = { 0, 1, 2}, a3 = { 2, 1, -4 }, a4 = { 1, 1, 0}.
3. a1 = { 1, -2, 3}, a2 = { 0,1, -1}, a3 = { 1, 3, 0}, a4 = { 0, -7, 3 }, a5 = { 1, 1, 1}.
4. a1 = { 1, 2, -2}, a2 = { 0, -1, 4}, a3 = { 2, -3,3 }.
2.Найти все базисы системы векторов:
1. a1 = { 1, 1, 2}, a2 = { 3, 1, 2}, a3 = { 1, 2, 1 }, a4 = { 2, 1, 2}.
2. a1 = { 1, 1, 1}, a