Система линейных однородных уравнений
Если свободные члены системы (2.1) все равны нулю, то получится однородная система уравнений:
(2.3)
Ранг основной матрицы системы (2.3) и ранг ее расширенной матрицы
всегда равны, следовательно, однородная система всегда совместна. Нулевое решение
называемое тривиальным, является единственным, если
В случае, когда
система (2.3) имеет бесчисленное множество решений.
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение. Преобразуем матрицу системы:
Полученная матрица, равносильная матрице данной системы, такова, что ее ранг равен двум и число неизвестных n = 2 , значит система имеет единственное решение
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение. Составим матрицу системы и найдем ее ранг:
и
.
Значит, т. к., например,
Итак, базисный минор тогда базисная переменная
а
и – свободные. Следовательно, решение системы
где
– произвольные числа.
Если задать свободным переменным произвольные значения:
где
и
то бесчисленное множество решений системы примет вид:
где
и
Собственные числа и собственные векторы матрицы
1. Всякий ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, если Ах = lх, где l – некоторое число, называемое собственным значением (числом) матрицы
2. Если в некотором базисе вектор х и матрица А заданы:
и
то равенству Ах = lх будет эквивалентна следующая система:
(3.1)
Последняя однородная система относительно неизвестных l, m, n имеет всегда нулевое решение l = 0, m = 0, n = 0, т. е. х = 0, что нас не интересует. Ненулевое решение возможно тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т. е.
(*)
Последнее равенство называется характеристическим уравнением.
Каждый действительный корень l этого уравнения является собственным числом матрицы А. Координаты собственного вектора, соответ-ствующего каждому собственному числу, находят из системы уравне-
ний (3.1).
Замечание. Если х – собственный вектор матрицы А, то всякий, не равный нулю, коллинеарный ему вектор будет также собственным вектором матрицы А с тем же собственным числом.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение (*):
и вычислим его корни:
Найденное собственное число l = –1 подставим в систему уравнений (3.1) и получим:
Решением последней системы являются числа:
где – собственный вектор данной матрицы.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Понятие функции
Если каждому элементу х из множества D по некоторому правилу (закону) ставится в соответствие элемент у другого множества Е, то говорят, что между элементами (переменными) х и у существует функциональная зависимость; при этом переменную величину х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную величину у – зависимой переменной, или функцией.
Функциональную зависимость между независимой переменной х и зависимой у записывают так:
или более подробно
.
При этом множество D называется областью определения (или областью существования) функции, а множество Е – областью значения функции. Если функция f может быть задана на множестве N натуральных чисел:
, то такая функция называется функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью
с общим членом
.
Если функция зависит от двух, трех и более аргументов, то она записывается следующим образом:
или
Буква f является символом правила, по которому значениям аргумента ставятся в соответствие значения функции. Если при каком-либо исследовании рассматриваются различные функции, то при их символической записи могут использоваться различные буквы:
Функция считается заданной, если указано правило для определения значения функции, соответствующего данному значению аргумента. Такое правило может быть представлено различными способами. Наиболее часто встречающимися из них являются: аналитический, графический и таб-личный.
Некоторые классы функций
● Четные и нечетные функции
![]() | ![]() |
Функция ![]() ![]() | Функция ![]() ![]() |
Прочие функции не являются ни четными, ни нечетными, т. е. . Их графики не симметричны ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
● Периодические функции
Функция называется периодической, если существует такое постоянное число
, что
в области определения функции. При этом наименьшее из таких чисел l называется периодом:
Так период функций и
равен
(рис. 26, а, 26, б). Период
для функции
и
(рис. 26, в, 26, г).
● Монотонные функции
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (а, b), принадлежащем области существования этой функции, если боль-шему значению аргумента х из этого интервале соответствует большее (мень-шее) значение функции. Это значит, что для возрастающей функции при значениях
имеем неравенство
(рис. 27, а), а в случае убывания – неравенству
соответствует неравенство
(27, б).
![]() | |||
![]() |
Если функция
опре-деленная на интервале, является только возрастающей или только убывающей на этом интервале, то она называется монотонной на интервале.
|
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-43.gif)
(а, b), если на этом интервале существуют такие точки и
, что, например, на интервалах
и
функция возрастающая, а на интервале
функция убывающая (рис. 27, в).
● Ограниченные функции
Функция
, заданная на интервале (а, b), называется ограниченной на этом интервале, если существует такое число
, что для всех х из данного интервала верно неравенство
. Значит, график ограниченной функции лежит в полосе
(рис. 28).
|
|
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-92.jpg)
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-93.gif)
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-66.gif)
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-67.gif)
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-96.gif)
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-97.gif)
|
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-70.gif)
![система линейных однородных уравнений система линейных однородных уравнений - student2.ru](/images/matematika/sistema-lineynykh-odnorodnykh-uravneniy-586878-71.gif)