Схема исследования функции на экстремум.
1. Найти О.О.Ф.
2. Найти в О.О.Ф.
3. Найти критические точки в О.О.Ф.:
4. а).в которых выполняется равенство ;
5. б) в которых не существует.
6. Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки.
7. Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф.
8. На основании достаточных условий экстремума сделать заключение о экстремуме функции в каждой из указанных в п.3 критических точках.
Пример 16. Исследовать на экстремум функцию .
Решение.
1). Функция определена при всех x ÎR.
2). .
3). Из уравнения находим х = -1;
существует при всех х. Таким образом,
х = -1 – единственная критическая точка.
4). Точка х = -1 разбивает числовую ось на два промежутка (-¥; -1) и (-1; +¥).
5). Интервалы знакопостоянства производной :
на (-¥; -1), так как
;
на (-1; +¥), так как
.
6). При переходе через точку х = -1 слева направо производная меняет знак с «+» на «-», значит х = -1 – точка максимума (хтах = -1)
В точке х = -1 имеем ymax = y(xmax) = y(-1) = 8+2-1=9.
Ответ: хтах = -1;
утах = 9.
Пример 17. Найти точки экстремума функции .
Решение. Производная этой функции определена во всех точках числовой оси и обращается в нуль в точке х = 3. В этой точке производная меняет знак с «+» на «-». Пользуясь признаком максимума, получаем, что точка х = 3 является точкой максимума.
Ответ:. хтах = 3.
Пример 18. Найти экстремум функции .
Решение. О.О.Ф.: x Î R.
при х1 = 2, х2 = 3.
Ответ:
Пример 19. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. О.О.Ф. найдем из решения системы:
.
Найдем производную:
.
в точке х =1.
не существует в точках х = 0 и х = 2.
Точки х = 0, х = 1, х = 2 не принадлежат О.О.Ф., следовательно, точек экстремума у этой функции нет.
Ответ: экстремум не существует.
Пример 20. Исследовать на экстремум функции
.
Решение. 1). О.О.Ф.: х ¹ 1.
2).
3). а) при х = 3 или при х = -1.
б) не существует при х = 1, но эта точка не принадлежит О.О.Ф.
4). Отметим на координатной прямой критические точки х = -1, х = 3, х = 1.
5). Знаки производной отметим на полученных промежутках.
6). х = -1 – точка максимума, утах = -8
х = 3 – точка минимума, уmin = 0.
Ответ: xmax = -1, ymax =-8;
xmin = 3, ymin = 0.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.
Справочный материал.
1. Наибольшим (наименьшим) значением функции y=f(x) на промежутке X называется такое число M(m), что существует такая точка x0, принадлежащая этому промежутку, что
для всех x из этого промежутка.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке X дифференцируемая функция f(x) может принимать либо на концах промежутка (если это числа), либо в критических точках, лежащих внутри промежутка.
3. На рис.1 функция y=f(x) достигает наибольшее значение на отрезке [a;b] в точке x=a и наименьшее значение в точке x=b:
На интервале (a;b) в этом случае функция не достигает ни наименьшего ни наибольшего значений.
4. Если дифференцируемая функция f(x) на промежутке X имеет единственную точку экстремума и в этот экстремум – максимум (минимум), то в этой точке достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.
5. На рис.1 функция y=f(x) на отрезке [x1;x3] в точке x=x2 имеет единственный максимум:
Функция y=f(x) на отрезке [x2;x4] в точке x=x3 имеет единственный минимум: