Теперь для выполнения условий минимизации функции наименьших квадратов запишем

Решение данной системы уравнений даёт искомые числовые оценки коэффициентов a и b модели. Конечным итогом реализации алгоритма наименьших квадратов является апостериорная модель, например

y = 1,3 x – 0,8.

С точки зрения управления последовательным экспериментом значимой задачей становится определение момента (или этапа) прекращения эксперимента. Данный этап должен определяться через соответствующие допустимые изменения коэффициентов модели относительно следующего этапа.

Данный критерий (10%) эффективно работает только при условии адекватности априорной модели экспериментальным данным. Если априорная модель задана неправильно, то возможен момент, когда каждое последующее значение коэффициентов модели изменяется в пределах > 10%.

Этот вариант является, помимо всего прочего, способом проверки адекватности модели. Отметим, что в данном классе задач используется логический закон управления типа да/нет относительно момента (или этапа) прекращения эксперимента.

В случае отсутствия известной математической формы априорной модели используется способ аппроксимации такой модели, как правило, степенным полиномом вида .

Дополнительным условием, необходимым для реализации алгоритма наименьших квадратов, является конечное значение n.

В инженерной практике принято n ≤ 10, так как известно, что подобные полиномы с достаточной для инженерной практики точностью позволяют аппроксимировать любые аналитические функции. Для данного полинома 10-й степени реализуется алгоритм наименьших квадратов с соответствующей оценкой числовых значений коэффициентов полинома. Подобные задачи решаются машинными методами. На конечном этапе реализации алгоритма наименьших квадратов необходимо провести ранжирование коэффициентов модели с целью минимизации апостериорной модели объекта.

Для простейших (предварительных) инженерных расчётов используется графический алгоритм наименьших квадратов, но который применим только для линейных моделей вида .

Пример:

Схема графического алгоритма следующая. Соединим точки 1 и 2 отрезком прямой. На данном отрезке отложим проекцию . Соединим полученную точку со следующей экспериментальной точкой. На полученном отрезке опять откладываем проекцию . И так далее до получения последней возможной точки проекции на соответствующем отрезке. Эта последняя точка лежит на прямой наименьших квадратов. Для получения второй точки на прямой наименьших квадратов вся процедура повторяется, начиная с последней экспериментальной точки. Соединив полученные точки, построим прямую наименьших квадратов, по которой обычными методами определяем коэффициенты a и b модели.