Связь междукоэффициентамистепенногорядаиего суммой

¥

k

Итак, пусть

å

k=0

ckx= s(x),|x|< R.Положим

c0= s(0).

x= 0,тогдаполучим:

¥

k

Возьмемпроизводнуюотчленоврядаиегосуммы:

å

k=1

ckxk-1= s¢(x),|x|<R,

n

иположим

x= 0.Тогда

c1= s¢(0).Продолжаяпроцессдифференцирования,

получим:

n!c= s(n)(0).

Тоесть,

cn=

s(n)(0)

n!

.Такимобразом,коэффициентыстепенногоряда

являются коэффициентами формулыТейлорадлясуммыряда.

Поставимвопросы:еслидляпроизвольнойфункции

f(x),имеющей

бесконечноечислопроизводныхвточке

x= 0

построитьряд

¥ (k)

f

å

(1)xk,

называемыйрядомТейлорафункции

1) гдеонбудетсходиться, и

f(x),то

k=0 k!

2) еслибудетсходиться,тобудетлисходитьсяксамойфункцииf(x)?

f

Ответы на поставленныевопросы.

1) ТаккакрядТейлора

¥ (k)

å

(0)xk–этостепеннойряд,тодлянего

k=0 k!

обычнымобразомможнонаходитьрадиусиинтервалсходимости.Тоесть,

R= lim|f(n)(0)|(n+1)

n®¥

|f(n+1)(0)| .

2) ТаккакчастнаясуммарядаТейлора–этомногочленизформулы

Тейлора

n

å

k=0

f(k)(0)xk

k!

,торазностьмеждучастнойсуммойифункцией

f(x)

согласно формулеТейлораестьостаточныйчленформулыТейлора. Мы

егорассматриваливформеЛагранжа:

rn(x)=

f(n)(q x)

n!

xn,0< q < 1. Таким

образом,есливнутриинтерваласходимостиостаточный членформулы

Тейлорастремитсякнулюсростомn,тосуммаряда Тейлора совпадаетсисходнойфункцией,покоторойпостроенряд.И тогда говорят,что

функция

f(x)

представима в видерядаТейлора,тоесть

¥

f(x)= å

k=0

f(k)(0)xk.

k!

Примерыразложенияфункцийв рядыТейлора

Пример1. Рассмотримфункцию

ex. В соответствиис формулой

x x x2 x3 xn

Тейлора-Маклоренаe

|rn(x)|£ e

=1+1!+ 2!+ 3!+×××+ n!+ rn(x),

× |x|n+1.

(n+1)!

где max{x,0}

Сосчитаемрадиуссходимостистепенногоряда:

R= lim(n+1)!= lim(n+1)= ¥ .

n®¥ n!

n®¥

Такимобразом, этотрядсходитсявовсехточкахвещественнойоси.Для

¥ xk

того,чтобывыяснить,будетлисходитьсяряд

å кфункции

k!

k=0

| |n+1

ex,заметим,

чтоприлюбомзначении

xÎR

имеем |rn(x)|£ e|x|×

x ® 0 (n+1)!

при n®¥.

¥

å

Следовательно,ex= xk

k

привсех

xÎR.

k=0 !

Пример 2. Рассмотрим функциюформулойТейлора-Маклорена

f(x) = sinx. В соответствии с

1 1 1

(-1)n+1

sinx= x-

x3+

x5+×××+

( )

x2n-1+ r(x),

1! 3! 5! 2n-1! n

где

|r(x)|£ |x|2n+1.Тоесть,

R= lim

(2n+1)!= ¥ и

rn(x)® 0

при n®¥.

n

(2n+1)!

¥

(-1)n+1

n®¥ (2n-1)!

Следовательно,

sinx= å

( )

n=12n-1!

x2n-1

привсех

xÎR.

Пример 3. Рассмотрим функциюформулойТейлора-Маклорена

f(x) = cosx.

В соответствии с

111

(-1)n

cosx=1-

x2+

x4 -

x6+×××+

( )

x2n+ r(x),

2! 4! 6! 2n

|x|2(n+1)

! n

(2n+2)!

где

|rn(x)|£ (2n+ 2)!. Тоесть,

¥ (

R= lim

n®¥

-1)n

(2n)!

= ¥ и

rn(x)® 0

при

n®¥.Следовательно,

cosx= å

( )

n=02n!

x2n

при всех

xÎR.

Пример 4. Рассмотрим функцию

f(x) = (1+ x)a ,

a ÏN. В

соответствиисформулойТейлора-Маклоренаприa ÏN

+ = +a

+ a a-

+ + a a- a- a- + + .

(1 x)a 1 x

( 1)x2

2!

...

( 1)( 2)...(

n!

n 1)xn

rn(x)

Найдемрадиуссходимостиэтогостепенногоряда:

R= lim

n+1

=1.

n®¥ a - n

Дляоценкиостаточногочленаприn,большихилиравныхцелойчастиa ,

формаЛагранжаостаточногочленагодитсятолькодля

x> 0.Вэтомслучае

имеем оценку:

|rn(x)|£ |a(a-1)(a- 2)...(a- n)|x|(n+1). Очевидно, что при

(n+1)!

0< x<1

имеем

rn(x)® 0

при n®¥.Для отрицательныхзначений x

применяетсядругаяформа остаточногочлена. В результатедля |x|<1

справедливопредставление

(1+ x)a =1+

¥

å

n=1

a(a -1)(a - 2)...(a - n+1)xn.

n!

В случае,когда

a = m

– натуральноечисло,производныефункции

(1+ x)m

порядка выше, чем m, обращаются в 0. Следовательно,

коэффициентырядапристепеняхвышеm– нулевые, изначит,отряда

останетсятолькоконечнаясумма,содержащая

это имеетвид

m+1слагаемое.Разложение

(1 x)m 1

mm(m-1)(m- 2)...(m- n+1)xn 1

m

Cnxn

+ = + å

n=1

= + å m ,

n=1

n!

а полученнаяформуланосит название«биномНьютона».

ПримерыприложенийрядовТейлора.

Представленныевпредыдущемпунктеканоническиеразложениямогут

служитьосновойдляполученияновыхразложений.Так,положив

a = -1в

последнем разложении, мы получим формулы суммы бесконечнойгеометрической прогрессии со знаменателем (-q):

1- q+ q2+...+ (-q)n+...=

1+ q

.Замениввэтойформулеqна(-q),получим:

1+ q+ q2+...+ qn+...=

1 .

1- q

Заменим впоследней формулеqна

-t2,мыполучимразложение

1+ t2

¥

= å

n=0

(-t2)n,

|t|<1. Последний ряд имеет радиус сходимости,

равный1.Вспомним,чтовнутриинтерваласходимостирядыможноинтегрироватьпочленноипроинтегрируемобечастипоследнегоравенствапоtот0до

x

¥ 2n+1

n=0

n

x, |x|<1,тогдаполучимразложение:

arctgx= å(-1) 2n+1.

Еще легче получить разложение

ln(1+ x)= å (-1)

n+1xn

,

если

¥

n=1 n

проинтегрировать почленно ряд

1-t+ t2+...+ (-t)n+...=

1+ t

внутри

интерваласходимости,тоесть при|t|<1.

Разложенияфункций

ex, sinx

и cosxврядыТейлора,справедливые

длявсехвещественныхx,оказываютсятакимижеивслучае,когда x–

комплексноечисло.Пустьx= i×t,гдеi–мнимаяединица,тоесть,

i2= -1,а

t– вещественноечисло.(Заметим,чтоТейлора:

i3= -i,

i4=1).Разложим

ei×t

вряд

2 3 4 5 6 7 2 4 6

ei×t= + i×t- t

- it+ t

+ it- t

- it

+ = - t+ t

– t+ +

1

t3 t5

2! 3! 4! 5! 6! 7!

t7

..... (1

2! 4! 6!

...)

+i(t- 3!+ 5!- 7!+....)= cost

+ i×sint.

Вотэтаформула,выражающаясвязьмежду

ex, sinx

иcosxвслучае

комплексныхпеременных, и называетсяформулой Эйлера.

РядыТейлораслужатдляприближениямногихфункций.Деловтом,чтоарифметическиеоперации,которыепроводятсяточно–этооперацииумноженияначисло(аследовательно,ивозведениевцелуюположительнуюстепень)и сложение.Поэтомувычислениезначениймногих известных

функций,например,

ex,sinx,cosx,lnx, сводится к вычислениюзначений

близкихкэтимфункцияммногочленов–частныхсуммсоответствующихрядовТейлора.Этисуммызаложенывпрограммувычисленийнашихкалькуляторов.

ЧастныесуммырядаТейлора

n

å

k=0

f(k)(0)xk

k!

дляпроизвольнойфункции

f(x)можнополучатьс помощьюпрограммыMAXIMA.Длятого,чтобы

получить

n (k)

f

å

(a)(x- a)k

дляконкретнойфункции

f(x),следуетнабрать

k=0 k!

taylor(f(x),x,a,n)и нажать Shift+Enter.

Пример. ДляполучениясуммыТейлора7-йстепенипостепеням(x-1)

для функции lnx

x

следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7).Мы получим

x-1-3(x-1)2/2+11(x-1)3/6-25(x-1)4/12+137(x-1)5/60-49(x-1)6/20+

+363(x-1)7/140+.

Сравнимполученныймногочлен(красныйграфик) сисходнойфункцией

lnx

x (синийграфик)на одномрисунке.Для этоговведемload(draw);

draw2d(color=blue, explicit(log(x)/x,x,0.2,2), color=red,

explicit(taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2))

Мы видим,что красныйи синийграфикисливаютсяв окрестности

точки

x=1иудаляютсядруготдругаприудаленииаргументаотзначения1.

Этосвидетельствуетотом,чточастныесуммырядовТейлораприближают

функцию тольков окрестноститочки

x=1.

ТригонометрическиерядыФурье

Вразличныхотрасляхнауки,втомчисле,вфизикеприходитсяиметьдело с периодическимиявлениями.Простейшийпример– электрические

колебания. Периодической называется функция

f(x), для которой

существует такая величина,называемая периодом, что

f(x)=

f(x+T).

Простейшими T- периодическими функциями являются

тригонометрическиефункциивида

sin2pkx,cos2pkx,где k–целоечисло,

T T

называемыегармониками.Представлениепериодическойфункцииввиде

суммыгармоникназываетсягармоническиманализом.Вслучае,когдатакая

суммабесконечна,мыполучаемтригонометрическийряд, называемыйрядомФурье.

Итак, пусть непрерывная T- периодическая функция

f(x)

представлена в виде тригонометрического ряда:

å

f(x)= a0+ ¥ a

cos2pkx+ b

sin2pkx. Возникает вопрос: как найти

2 k=1k

T k T

коэффициенты

a0,ak,bk,

kÎN?

Воспользуемся тем,что гармоникиобладают следующимсвойством:

T/2

ò

-T/2

T/2

ò

-T/2

T/2

cos

sin

2p kxT

2p kxT

dx= 0,

dx= 0,

ò

-T/2

T/2

ò

-T/2

T/2

ò

-T/2

T/2

ò

cos2plxsin2pmxdx= 0,

T T

cos2plxcos2pmxdx= 0,

T T

sin2plxsin2pmxdx= 0,

T T

cos22plxdx= 2,

"l,mÎ N,

"l,mÎN,l¹ m,

"l,mÎ N,l¹ m,

-T/2

T/2

ò

-T/2

T T

sin22plxdx= 2.

T T

Теперьдлятого,чтобы,например,найтиравенства

am умножимобечасти

å

f(x)= a0+ ¥ a

cos2pkx+ b

sin2p kx

на cos2pmx

ипроинтегрируем

2 k=1k

T k T T

наотрезке[-T/2,T/2].Сучетомсвойствгармониквправойчастиравенства

останется только слагаемое

a 2, а в левой части – выражение

m

T

T/2

ò

-T/2

f(x)cos

2p mxT

dx.Отсюдамыполучим

am.

Умножаянаsin2pmx

T

иинтегрируя,получимbm.

Адлятого,чтобыполучить

a0,нужнопростопроинтегрироватьобе

части равенства

f(x)= a0+ ¥ a

cos2pkx+ b

sin2p kx

на отрезке

å

[-T/2,T/2].

2 k=1k

T k T

Таким образом, непрерывная периодическая функцияпредставима в видеследующеготригонометрическогорядаФурье:

f(x)

å

f(x)= a0+ ¥ a

cos2pkx+ b

sin2pkx, где

2T/2

k=1

k T k T

2p kx

ak= T

ò

-T/2

f(x)cos T

dx,

k= 0,1,2,....,

b = 2

k T

T/2

ò

-T/2

f(x)sin

2p kxT

dx,

k=1,2,....

Вслучае,когдапериодическаяфункцияимеетточкиразрыва,еетакжеможнораскладыватьврядФурье,норавенствофункцииисуммырядабудеттольковточкахнепрерывностифункции.ВточкахразрыварядФурьебудетсходитьсякполусуммезначенийфункциислеваисправаотточкиразрыва:

¥

a0+ åa

cos2pkx0+ b

sin2pkx0= 1(f(x

- 0)+ f(x

+ 0)).

2 k=1k

T k T 2 0 0

ВозможноразложениефункцииврядФурьеспомощьюMAXIMы.Мы

получимвсе коэффициентырядаФурье дляфункции

f(x), заданнойна

отрезке[-T,T]

иT-периодическипродолженнойнавсювещественнуюось,

если введем load(fourie); fourier(f(x),x,t) и нажмемShift+Enter.

Пример.Получим коэффициенты ряда Фурье для функции

f(x)= ex,-p £ x< p . Для этого введемload(fourie);fourier(%e^x,x,%pi),

нажмем Shift+Enterи получим

a= (ep

-e-p

)/p ,

an= (nsinp n/(ep n2+ ep )+ ep nsinp n/(n2+1)-

-cosp n/(ep n2+ ep )+ ep cosp n/(n2+1))/p ,

bn= (sinp n/(ep n2+ ep )+ ep p sinp n/(n2+1)-

-ncosp n/(epn2+ ep )+ epncosp n/(n2+1))/p.

Мы видим,что коэффициентысодержатвыражения sinp n= 0и

cosp n= (-1)n.Поэтомупреобразуемкоэффициенты:

a0=

ep - e-p ,

p

n

a= (-1) ( 1

ep ),

-

n p ep (n2+1) (n2+1)

n

b= (-1)n(- 1

ep ).

+

n p ep (n2+1) (n2+1)

Длятого,чтобынетольковычислитькоэффициентырядаФурье,нои

получитьразложениефункции

f(x), заданнойна отрезке[-T,T]

и T-

периодическипродолженной на всювещественную ось врядФурье, следуетввестиload(fourie);totalfourier(f(x),x,T)и нажать Shift+Enter.

Пример.ДляразложенияврядФурьефункцииизпредыдущегопримеравведемload(fourie);totalfourier(%e^x,x,%pi).Приэтомполучимразложение

¥

e-p (ep -1)(ep +1)å

– n=1

n(-1)nsinnx

n2+1

¥

e-p (ep -1)(ep +1)å

+ n=1

(-1)ncosnx

n2+1 +

p p

+ e-p (ep -1)(ep +1)

2p .

Следует отметить, что частные суммы ряда Фурье приближаютисходнуюфункциюне в конкретныхточках,а «всреднемпо отрезку».

Сравнимзаданнуюфункцию

y= ex,-p £ x£ p ,и9-ючастнуюсуммуряда

Фурье на одном графике. Для этого сначала введем функцию

g(x),

совпадающуюс9-йчастнойсуммой,азатемнарисуемфункциюex

(черным

цветом)ифункцию

[-p ,p ]:

g(x)

(краснымцветом)наодномграфикенадотрезком

g(x):=-(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1)*sum((n*(-

1)^n*sin(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+(%e^(-%pi)*(%e^%pi-

1)*(%e^%pi+1)*sum(((-1)^n*cos(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+

(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1))/(2*%pi);

load(draw); draw2d(explicit(%e^x,x,-%pi,%pi), color=red,explicit(g(x),x,-%pi,%pi)).

В результате получимкартину

Здесь видно, что в конечных точках отрезка, где функция

y= ex,-p £ x£ p , припериодическомпродолжениис отрезка [-p ,p ] в

другиеточкивещественнойоситерпитразрыв,графикчастнойсуммырядаФурье(краснаялиния)значительноотличаетсяотграфикаэкспоненциальнойфункции.Еслибратьчастнуюсуммусбольшимколичествомчленов,тографикчастнойсуммыбудеттеснееприближатьсякисходнойфункцииво

внутреннихточкахинтервала (-p ,p ),новблизиточекx= ±p

поведение

будет тем же из-за разрыва исходной функции при периодическомпродолжении.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением называется соотношение вида

F(x,y(x),y¢,y¢,...,y(n))= 0. Решить дифференциальное уравнение – это

значит,определитьфункцию

y(x),удовлетворяющееэтомусоотношению,

возможно, в неявном или параметрическомвиде.

Простейшеедифференциальноеуравнениевида

y¢(x)=

f(x)

мы уже

решали, так как находили

y(x)= ò f(x)dx. Мы знаем, что интеграл

определяетсясточностьюдопроизвольногопостоянногослагаемого.Тоесть

решение простейшего дифференциального уравнения содержит

произвольнуюпостоянную.Решенияболеесложныхдифференциальныхуравненийтакженаходятсясточностьюдопроизвольныхпостоянных.Любуюфункцию,удовлетворяющуюдифференциальномууравнению,мыбудемназыватьчастнымрешениемэтогоуравнения,совокупностьчастныхрешенийназовемобщимрешениемдифференциальногоуравнения.

Порядокдифференциального уравнения определяетсянаивысшимпорядком входящих в него производных. Поэтому дифференциальное

уравнениевида

F(x,y(x),y¢,y¢,...,y(n))= 0

считаетсядифференциальным

уравнениемn-гопорядка.

Также,какнелюбаяфункцияможетбытьпроинтегрирована,ипредставленаввидеэлементарныхфункций,такинелюбоедифференциальноеуравнениеимеетрешение,выражающеесячерезэлементарныефункции.Классдифференциальныхуравнений,

интегрируемыхв квадратурах,узок.Мы изучимнесколькоклассов

дифференциальныхуравнений,интегрируемыхвквадратурах,атакжерассмотримнекоторыеприближенныеметодырешениядифференциальныхуравнений.Крометого,мырассмотримнекоторыезадачи,связанныесприменениемдифференциальныхуравнений.