Классический метод поиска безусловного экстремума

Классический метод поиска безусловного экстремума функции является методом решения ЗНЛП простейшего класса – ЗНЛП без ограничений:

В основе метода лежат сформулированные выше теоремы о необходимых и достаточных условиях существования безусловного экстремума. Метод применим только для "достаточно гладких" (дважды непрерывно дифференцируемых функций). Метод состоит в выполнении следующих шагов.

Шаг 1. Решить уравнение (или систему уравнений ) и найти множество ее решений – стационарных точек (подозрительных на экстремум).

Шаг 2. Установить, пользуясь теоремой об условиях определенности матрицы (критерием Сильвестра), тип определенности матрицы Гессе в каждой стационарной точке функции , и на основе этого сделать вывод о существовании и типе экстремума.

Замечание 2.2.Решение системы уравнений на первом шаге представляет собой отдельную, во многих случаях достаточно сложную задачу. Производные целевой функции нередко оказываются нелинейными функциями, а решение системы нелинейных уравнений аналитическими методами возможно не всегда. Поэтому иногда для выявления стационарных точек на первом шаге приходится применять так называемые численные методы (см., например, метод Ньютона-Рафсона, описанный ниже).

Замечание 2.3.Если при реализации классического метода матрица Гессе в стационарной точке не является ни положительно, ни отрицательно определенной, то тогда необходимо более детальное исследование поведения функции в этой точке (например, разложение по формуле Тейлора и анализ этого разложения).

Пример 2.2.Прибыль P некоторой фирмы определяется как

,

где расходы на производство; и расходы на рекламу по радио и телевидению соответственно. Требуется в условиях отсутствия ограничений на производственные и рекламные затраты определить максимально возможную прибыль, а также значения аргументов обеспечивающие этот максимум.

Решение.Необходимо решить ЗНЛП без ограничений:

.

Целевая функция является дифференцируемой, поэтому в данном случае применим классический метод решения. Реализуя этот метод, имеем:

шаг 1. Из условия получаем систему линейных уравнений

По теореме Крамера система имеет единственное решение – единственную стационарную точку . Только в этой точке может быть экстремум.

шаг 2. Для определения типа экстремума вычисляем матрицу Гессе и устанавливаем ее определенность в стационарной точке. Имеем

.

Таким образом, матрица Гессе функции в стационарной точке есть

Установим тип определенности . Для главных ее миноров имеем

; ; .

По теореме об условиях определенности матрицы (критерию Сильвестра) найденная матрица Гессе является отрицательно определенной. Следовательно, стационарная точка есть точка максимума. Искомые значения обеспечивающие максимум прибыли, равны . Максимальная прибыль при этом оказывается равной

.

Задачи

Классическим методом исследовать на экстремум следующие функции и найти (если они есть) все их экстремальные точки:

49. . 50. .

51. . 52. .

53. . 54. .

55. , .

56. . 57. .

58. .

59. .

60. Прибыль P фирмы определяется функцией

где и значения факторов производства. Определить максимальную прибыль, а также значения факторов производства, обеспечивающие этот максимум.

61. Прибыль P некоторой фирмы определяется функцией

где и значения факторов производства. Определить максимальную прибыль, а также значения факторов производства, обеспечивающие этот максимум.

61. Издержки приходящиеся на единицу выпускаемой продукции, выражается функцией:

где – количество (объем выпуска) этой продукции. При каком объеме выпуска суммарные издержки будут минимальными?

62. Определите оптимальный для потребителя объем блага если известно, что функция полезности индивида от обладания этим благом имеет вид:

1) 2) 3)

63. Краткосрочные общие затраты (издержки) ТС конкурентной фирмы описываются формулой При каком уровне рыночной цены эти издержки будут минимальными?

64. Автомобиль расходует

бензина на 100 км пути, где – скорость автомобиля (км/час); заданные коэффициенты, зависящие от его ходовых свойств. Определить крейсерские[2] скорости автомобилей приведенных в таблице марок.

Марка автомобиля	Значения ходовых коэффициентов
a	b	c	k
ГАЗ 31010	0,142			0,0052
BMW	0,112			0,0042
Volvo	0,121			0,0047

65. Две деревни А и В расположены на берегу реки на расстоянии кмдруг от друга, третья деревня С находится на той же стороне реки и удалена от деревень А, В на расстояния соответственно и км. Русло реки в окрестностях деревень прямолинейно. В каком месте следует построить пристань, чтобы сумма расстояний от пристани до деревень была бы наименьшей?

66. В городе должен быть построен депозитарий крови. Потребителями крови являются три госпиталя, расположенные в точках с координатами, указанными в таблице:

Госпитали	Расстояние от базовой точки (км)
На восток	На север
Госпиталь №1
Госпиталь №2
Госпиталь №3

Частота обращений за кровью для всех госпиталей одинакова. Определить точку расположения депозитария из критерия минимизации суммарной длины пути по доставке крови в госпитали города.

67. Добываемая в карьере руда автотранспортом поставляется на металлургический комбинат. В 30 км от карьера проходит железная дорога, ведущая (по прямой) на металлургический комбинат. Стоимость перевозки 1 т. руды на 1 км для автотранспорта руб., для железнодорожного транспорта 2 руб. В каком месте на железной дороге следует построить станцию для перегрузки руды и отправки далее на комбинат по железной дороге? Расстояние от ближайшей к карьеру точки железной дороги до комбината равно 300 км.

68. Берега некоторого морского пролива описывается параболой и прямой Определить координаты точек на берегах, для которых мост, связывающий эти точки, будет иметь наименьшую длину. Какова будет длина такого моста?

69. Автомобильная горная дорога между пунктами А и В описывает траекторию а другая дорога между пунктами С и D проходит по прямой Требуется построить связывающий указанные дороги путепровод, по возможности наиболее короткий. Таким образом, задача состоит в определении точек на дорогах, для которых отрезок, связывающий эти две точки, имеет наименьшую длину.

70. Морская береговая линия описывается кривой а судоходный канал проходит по прямой Определить кратчайшее расстояние между морем и каналом, а также координаты точки на морском берегу и на канале, определяющие это кратчайшее расстояние.

71. Расходы топлива теплоходом пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?

72. Функция выручки фирмы квадратично зависит от объема продукции

Функция издержек имеет кубическую зависимость от

Определить максимальную прибыль фирмы, а также объем выпуска продукции, обеспечивающий эту прибыль.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ-РАВЕНСТВАХ

В данном разделе рассматривается оптимизационная ЗНЛП вида

(3.1)

; , (3.2)

которая в более компактной векторной форме записи имеет вид

(3.3)

Здесь: – целевая функция; – ее векторный аргумент (вектор неизвестных); – вектор-функция ограничений; – заданный вектор правой части ограничений.

Метод множителей Лагранжа

3.1.1. Назначение и обоснование метода

Метод множителей Лагранжа предназначен для решения ЗНЛП типа (3.1)-(3.2), которая в развернутой форме записи имеет вид

(3.4)

(3.5)

Для безусловного экстремума, когда ограничений нет, и экстремум ищется на всем пространстве, необходимым условием существования экстремума является условие . В случае одного условия область ограничений состоит из поверхности ; градиент целевой функции в точке экстремума должен быть ортогонален к этой поверхности. В противном случае в касательной плоскости существует направление, вдоль которого производная от функции отлична от нуля (тогда и производная вдоль кривой на поверхности, касающейся этого направления, отлична от нуля). Поэтому, вследствие ортогональности градиента в точке экстремума к поверхности , при некотором должно выполняться

,

иначе говоря, при некотором

.

В случае нескольких ограничений в виде системы уравнений, когда допустимое множество представляет собой поверхность

,

градиент должен лежать в нормальной плоскости к поверхности, то есть в плоскости, «натянутой» на векторы

.

Следовательно, при некоторых Имеем,

,

то есть

,

что является необходимым условием существования экстремума.

Это условие и ложится в основу метода множителей Лагранжа.