Расчет симметричного сечения
Для изображенного на рисунке 15 сечения определить:
1) главные центральные моменты инерции сечения;
2) главные центральные моменты сопротивления сечения;
3) главные центральные радиусы инерции сечения.
Рисунок 15
Решение.
1). Сечение, изображенное на рисунке 15, является сложным, составленным из двух простейших фигур: швеллера и прямоугольника. Выпишем из справочника геометрические характеристики этих фигур относительно их собственных центральных осей.
Швеллер №10У.
Из сортамента (приложение В, таблица В4):
|
Площадь швеллера А1=10,9см2..
Расстояния от стенки швеллера до центра тяжести т.С1:
y1 (в сортаменте z0)=1,44см.
Осевые моменты инерции швеллера: (в сортаменте JY)=174 см4;
(в сортаменте JX)==20,4 см4.
Ось Y1 параллельна короткой стороне швеллера, поэтому JY1>Jx1.
Центробежный момент инерции швеллера Jx1y1=0, так как система координат OX1Y1 является главной системой координат швеллера.
Прямоугольник.
Из таблицы Б1:
Площадь ..
Осевые моменты инерции:
Центробежный момент инерции прямоугольника Jx2y2=0, так как система координат OX2Y2 является главной системой координат прямоугольника.
2). Изобразим сечение в масштабе (рис.16).
|
Рисунок 16
3). Выберем произвольную вспомогательную систему координат OX0Y и найдем координаты центра тяжести сечения т.С относительно этой системы. Так как из чертежа очевидно, что т.С будет лежать на оси Y, то достаточно найти лишь координату yс.
Выпишем сначала координаты точек С1, С2, С3 относительно осей OX0Y,.используя чертеж на рисунке 16 и данные 1-го пункта решения:
т.С1(x1=1+5=6см; y1=1,44см);
т.С2 (x2=0; y2=6см).
т.С3(x3=-x1=-6см; y3=1,44см);
Найдем общую площадь сечения
А=А1+А2+А3=10,9х2+24=45,8см2.
По формулам (1):
Нанесем на чертеж т.С(0,yc) и проведем через нее центральную ось CX, параллельную вспомогательной оси OX0.
Выпишем теперь координаты точек С1, С2, С3 относительно новой оси СX.
Из рисунка 16: a1=y1-yc=1,44-(3,83)=-2,39см;
a2=y2-yc=6-(3,83)=2,17см;
a3=y3-yc=1,44-(3,83)=-2,39см ;
Проверим правильность определения положения центра тяжести сечения. Так как статический момент сечения относительно любой центральной оси должен быть равен нулю, то, используя формулы (2), получим:
Отсюда следует, что оси X,Y действительно являются центральными, то есть положение центра тяжести найдено правильно. Так как ось CY совпадает с осью симметрии сечения, то, на основании пункта 2.2, система CXY будет главной центральной системой координат сечения.
|
4). Найдем главные центральные моменты инерции JX, JY.
Согласно соотношению (7), для составного сечения:
(12)
Найдем сначала моменты инерции для швеллера (фигура 1). Так как оси CXY параллельны осям C1X1Y1, а относительно этих осей моменты инерции известны (см. 1-й пункт решения), то применяем формулы (3):
Для второй фигуры (прямоугольника), получим:
Очевидно, что
Подставляем найденные значения в (12):
5). Найдем главные центральные моменты сопротивления WX, WY.
Из определения моментов сопротивления сечения
|
Из чертежа (рис.16) найдем
|xmax|=10+1=11см.
|ymax|=12-yc=12-3,83=8,17см.
6). Найдем главные центральные радиусы инерции iX, iY.
Из определения радиусов инерции сечения
Задача решена.
|
Приложение А
Расчетно-проектировочная работа «Геометрические характеристики плоских сечений»
Для сечения, симметричного относительно вертикальной оси, составленного из прямоугольников и прокатных профилей, требуется:
1. Вычертить сечение в масштабе и показать основные размеры в числах.
2. Определить положение центра тяжести и указать положение главных центральных осей.
3. Вычислить величину главных центральных моментов инерции сечения и главных центральных моментов сопротивления сечения.
4. Определить величину главных центральных радиусов инерции сечения.
Варианты заданий приведены на страницах 29-31. Числовые данные взять из таблицы А1.
Таблица А1
№ | швеллер | двутавр | равнополочный уголок, мм | неравнополочный уголок,мм | пластина, мм |
№8У | №16Б2 | 25х25х4 | 70х45х5 | 150х20 | |
№10У | №18б2 | 40х40х4 | 80х50х5 | 160х25 | |
№12У | №20Б1 | 50х50х5 | 90х56х8 | 170х25 | |
№14У | №23Б1 | 56х56х5 | 100х63х10 | 190х25 | |
№16У | №26Б1 | 63х63х6 | 125х80х7 | 200х20 | |
№16аУ | №26Б2 | 70х70х8 | 125х80х10 | 210х20 | |
№18У | №30Б1 | 75х75х9 | 140х90х8 | 220х25 | |
№18аУ | №30Б2 | 80х80х8 | 140х90х10 | 250х20 | |
№20У | №35Б1 | 90х90х6 | 160х100х10 | 250х25 | |
№22У | №35Б2 | 90х90х9 | 160х100х14 | 260х20 | |
№24У | №40Б2 | 110х110х8 | 180х110х10 | 280х20 | |
№27У | №45Б1 | 125х125х10 | 200х125х11 | 300х20 | |
№30У | №50Б1 | 125х125х16 | 200х125х16 | 320х20 | |
№33У | №55Б1 | 140х140х12 | 250х160х12 | 350х20 | |
№36У | №60Б1 | 160х160х20 | 250х160х20 | 400х20 | |
№10У | №30Б1 | 40х40х3 | 50х32х4 | 120х25 | |
№12У | №30Б2 | 45х45х4 | 56х36х4 | 130х20 | |
№14У | №35Б1 | 50х50х4 | 63х40х6 | 140х20 | |
№16У | №40Б1 | 56х56х4 | 75х50х8 | 150х25 | |
№18У | №40Б2 | 63х63х4 | 80х50х6 | 160х20 | |
№20У | №45Б2 | 70х70х6 | 110х70х8 | 170х20 |
|
Варианты заданий
|
|
|
Приложение Б
Геометрические характеристики простейших сечений
Таблица Б1 - Геометрические характеристики простейших сечений
Форма сечения | Площадь сечения, ![]() | Осевые моменты инерции | Осевые моменты сопротивления | Осевые радиусы инерции | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
Круг ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Кольцо ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Продолжение таблицы Б1
Форма сечения | Площадь сечения, ![]() | Осевые моменты инерции | Осевые моменты сопротивления | Осевые радиусы инерции | |||
Полукруг ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() |
Прямоугольник ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Продолжение таблицы Б1
Форма сечения | Площадь сечения, ![]() | Осевые моменты инерции | Осевые моменты сопротивления | Осевые радиусы инерции | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
Равнобедренный треугольник ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Прямоугольный треугольник ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Приложение В