Кинематика и динамика поступательного

КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Методические указания по решению задач

Омск 2004

Составители: Н.В. Бердинская

В.О. Нижникова

С.С. Ясько

Рассматриваются теоретические вопросы разделов кинематики и динамики поступательного и вращательного движений. После теоретических вопросов приведены примеры решения задач по данной теме и в заключении представлены семь блоков задач по тридцать вариантов в каждом блоке для самостоятельного решения в качестве домашних заданий.

Предназначены для студентов дневного и вечернего обучения всех технических специальностей.

Печатается по решению редакционного издательского совета Омского государственного технического университета.

Механика материальной точки

Скаляры и векторы

В физике широко используются скалярные и векторные величины.

Скалярной называется величина, каждое значение которой выражается одним числом в любой системе координат (длина, время, масса и т.п.).

Вектором называется величина, определяемая числовым значением и направлением в пространстве (скорость, сила, напряженность и т.п.).

Длина вектора, измеренная в определенном масштабе, называется модулем вектора.

Любой вектор можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор .

Единичные векторы, направленные вдоль координатных осей, принято обозначать: ; ; .Они называются ортами.

Пусть известен угол α между некоторой осью Ох и вектором . Опустим перпендикуляр из конца вектора на эту ось (рис. 1.1.).

К х

Рис. 1.1

Величина называется проекцией вектора на ось Ох. Знак проекции определяется знаком cosα, а ее численное значение равно длине отрезка ОК.

Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то проекции вектора на координатные оси обозначаются , , . (рис. 1.2.)

у

х

z

Рис. 1.2

Любой вектор может быть представлен в виде суммы трех векторов:

. (1.1)

Модуль вектора в этом случае равен

. (1.2)

Суммой двух векторов и называется вектор = + . – результирующий вектор; и – составляющие векторы (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Для определения результирующего вектора перемещаем вектор парал-лельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Из начала вектора к концу вектора проводим вектор .

В физике широко используются два вида произведений векторов: скалярное и векторное.

Скалярное произведение двух векторов и - это скалярная величина, численно равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

.

Векторным произведением векторов и является вектор , модуль которого равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними.

Направление вектора перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от к будет происходить против часовой стрелки (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Сила. Масса. Импульс

Величину, являющуюся причиной изменения состояния движущихся тел и возникающую в результате их взаимодействия, называют силой.

Сила – это мера взаимодействия тел. Эта величина векторная, она имеет определенное численное значение, направление и точку приложения.

Все тела, свободные от внешних воздействий, стремятся сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это свойство тел называется инертностью.

Все тела инертны, но в разной степени. Масса – это мера инертности тела при поступательном движении. Масса – скалярная положительная величина.

Импульс – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость .

. (1.20)

Направление импульса совпадает с направлением скорости.

Сила тяжести. Вес

Все тела у поверхности Земли притягиваются к ней с силой:

. (1.24)

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести.

Тело, лишенное опоры, падает на Землю. И если на него никакие силы, кроме силы тяжести, не действуют, его движение называется свободным падением. Ускорение, с которым тела движутся при свободном падении, называется ускорением свободного падения (g).

По второму закону Ньютона . Подставляя в это уравнение выражение для из (1.24), получим

, отсюда . (1.25)

Из формулы (1.25) следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы, размеров и других характеристик тела и вблизи поверхности Земли (при h=0) его величина: , но зависит от высоты над поверхностью Земли и от широты местности.

Если тело лежит на опоре, то на него действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры (рис. 1.9).

Рис. 1.9

По третьему закону Ньютона сила реакции опоры равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой тело давит на опору.

Сила, с которой тело давит на опору вследствие притяжения к Земле, называется весом . Вес всегда равен по модулю силе реакции опоры , но приложен к опоре, а не к телу.

Если тело висит на нити, то вес тела – это сила, с которой тело натягивает нить. В этом случае вес равен по модулю силе натяжения нити, действующей на тело (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Сила трения скольжения

При скольжении одного тела по поверхности другого возникает сила, препятствующая движению. Она называется силой трения скольжения.

Опытным путем установлено, что сила трения скольжения зависит от материала соприкасающихся тел, качества обработки их поверхностей, степени их чистоты, а также от силы, с которой движущееся тело давит на поверхность. С учетом того, что сила давления на поверхность равна силе реакции опоры, выражение для силы трения скольжения имеет вид

. (1.26)

Абсолютно твердое тело

Абсолютно твердым телом называется недеформированное тело, т.е. такое, у которого размеры и форма не меняются при движении.

При изучении движения абсолютно твердого тела его представляют как совокупность большого числа материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными.

Момент силы

Рассмотрим твердое тело произвольной формы, которое может вращаться вокруг закрепленной оси. Пусть на тело действует произвольно направленная сила . Выберем в твердом теле какую-нибудь точку - центр вращения, например, лежащую на оси вращения (рис. 2.2).

] [

d

О

] [

Рис. 2.2

Проведем из нее радиус – вектор в точку приложения силы. Величина определяемая соотношением

, (2.11)

называется моментом силы относительно точки О. Модуль вектора определяется по формуле

, (2.12)

где - угол между векторами и , - длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы. Эта величина называется плечом силы.

В случае, когда твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, вращающее действие силы будет характеризоваться величиной, называемой моментом силы относительно этой оси.

Пусть на твердое тело действует произвольно направленная сила , приложенная к телу в точке С (рис. 2.3). Если ось вращения закреплена, то вращающее действие будет оказывать только та составляющая силы , которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, т.е. сила _t (рис. 2.3).

Из точки пересечения указанной плоскости с осью вращения (точки О) проводим радиус-вектор в точку приложения силы _t .

Векторное произведение

(2.13)

будем называть моментом силы относительно оси Z.

Рис. 2.3

Этот вектор всегда направлен по оси вращения и связан с направлением вращения, вызванного силой _t , правилом правого винта.

Модуль момента силы относительно оси Z:

M_z = r∙F_t∙sin α = F_t∙d. (2.14)

Примеры решения задач

Задача 1. Частица движется так, что зависимость ее радиус-вектора от времени имеет вид

, (3.1)

где А = 2 м/с³, В = 4 м/с², С = -2 м – константы. Найти: 1) модуль мгновенной скорости в момент времени t₁ = 1 с; 2) приращение скорости и среднюю скорость за промежуток времени от t₀ = 0 с до t₂ = 2 с; 3) ускорение частицы и его модуль в момент времени t₂.

Решение.

1) Мгновенную скорость найдем как производную по времени от радиус-вектора, используя закон движения (3.1):

(3.2)

где u_x = 3At², u_y = 2Bt, u_z = 0.

Отсюда получаем

. (3.3)

В момент времени t₁ модуль скорости согласно формуле (3.3) принимает значение u₁ = 10 м/с.

2) Приращение скорости . Используя соотношение (3.2), получим

(3.4)

Чтобы вычислить среднюю скорость < >, найдем выражение для перемещения :

,

которое подставим в формулу, по которой определяется средняя скорость:

(3.5)

После подстановки данных в формулы (3.4) и (3.5) получим:

м/с; м/с.

3) Воспользовавшись зависимостью скорости от времени (3.2), определим мгновенное ускорение как производную от скорости по времени:

. (3.6)

Найдем модуль ускорения

, (3.7)

где согласно (6) а_х = 6At, a_y = 2B, a_z = 0. При t = t₁ формулы (3.6) и (3.7) дают следующие значения:

м/с²; а = 14 м/с².

Ответ:

1) ; u₁ = 10 м/с.

2) ; м/с;

; м/с.

3) ; м/с²;

; а = 14 м/с².

Задача 2. Ускорение точки меняется с течением времени по закону:

, (3.8)

ее начальная скорость

, (3.9)

где А = 2 м/с², с^-1, В = -2 м/с.

Найти: 1) мгновенную скорость точки и ее модуль в момент времени t₁ = 4 с; 2) приращение радиус-вектора (перемещение) точки за время от t₀ = 0 с до t₁ = 4 с; 3) путь, пройденный точкой за это время.

Решение.

1) Зная зависимость ускорения точки от времени, найдем зависимость скорости от времени, воспользовавшись соотношением:

.

Подставив в него заданные выражения для и , получим:

(3.10)

Отсюда ; ; ;

. (3.11)

Таким образом, в любой момент времени модуль скорости одинаков и равен u = 3,3 м/с.

В момент времени t₁ по формуле (3.10) скорость принимает значение (t₁) = (2,5 -2 ) м/с;

2) Для нахождения перемещения воспользуемся соотношением (10):

(3.12)

м.

Из формулы (3.12) ; ; ;

;

м.

3) Найдем длину пути S(t), используя выражение (3.11) для модуля скорости:

. (3.13)

Подставив в (13) данные задачи, получим S(t₁) = 13,2 м.

Ответ:

1) ; (t₁) = (2,5 -2 ) м/с;

; u = 3,3 м/с.

2) ; м.

;

м.

3) ;

S(t₁) = 13,2 м.

Задача 3. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью u₀ = 250 м/с; первый под углом 60°, второй – под углом 30° к горизонту (рис.3.1). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Рис. 3.1

Решение.

Обозначим радиус-вектор и скорость первого снаряда и ,

второго - и , соответственно. Пусть до момента столкновения со времени запуска первого снаряда прошло время t₁, со времени запуска второго снаряда – t₂, а . В момент столкновения положения снарядов совпадают и определяются вектором :

= ₁(t₁)= ₂(t₂). (3.14)

Согласно формуле (1.19),

, ;

или в проекциях на координатные оси (рис.3.1):

x₁(t₁) = u₀ cosα₁ t₁ ;

y₁(t₁) = u₀ sinα₁ t₁ – ; (3.15)

x₂(t₂) = u₀ cosα₂ t₂ ;

y₂(t₂) = u₀ sinα₂ t₂ – . (3.16)

Равенство (3.14) означает, что x₁(t₁) = x₂(t₂) и y₁(t₁) = y₂(t₂). Подставив сюда выражения (3.15), (3.16), получим:

u₀ cosα₁ t₁ = u₀ cosα₂ t₂ (3.17)

u₀ sinα₁ t₁ – = u₀ sinα₂ t₂ – .

Преобразуем последнее уравнение

u₀ (sinα₁ t₁ – sinα₂ t₂ )- (t₁² - t₂²) = 0 (3.18)

Из равенства (3.17) находим

(3.19)

Подставим выражение (3.19) в уравнение (3.18), получим следующее квадратное уравнение:

,

одним из решений которого будет t₂ = 0, что не соответствует условию задачи. Другое решение имеет вид

. (3.20)

Объединяя формулы (3.19) и (3.20), найдем интервал времени между выстрелами:

∆t = 18,7 с.

Ответ:

; ∆t = 18,7 с.

Задача 4.Тангенциальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, меняется с течением времени по закону:

а_t = А + Сt, (3.21)

где А = 2 м/с², С = 4 м/с³ – константы. Найти: 1) угловое ускорение колеса в момент времени t₁ = 2 с; 2) угловую скорость колеса в этот момент времени;

3) зависимость угла поворота колеса от времени; 4) число оборотов, сделанное колесом за 10 с от начала вращения. Радиус колеса 1 м. Угловую скорость и угол поворота в начальный момент принять равными нулю.

Решение.

1) Тангенциальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, и угловое ускорение его вращательного движения связаны соотношением:

а_t = e∙r, где r – расстояние от этих точек до оси вращения, т.е. радиус колеса. Отсюда

. (3.22)

При t = t₁ = 2 c, e = 4 рад/с².

2) Векторы и направлены одинаково, поэтому

, .

Интегрируя последнее выражение с учетом равенства (22), получим:

,

.

Так как по условию задачи в начальный момент времени t = 0 угловая скорость w₀ = 0, последнее выражение принимает вид

. (3.23)

Отсюда w = 12 рад/с при t = t₁ = 2 c.

3) Найдем зависимость угла поворота j от времени, воспользовавшись соотношениями:

, .

Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства с учетом соотношения (3.23):

(3.24)

Отсюда

.

По условию задачи при t = 0 j₀ = 0, поэтому

. (3.25)

4) Угол поворота колеса j и число оборотов N, сделанных колесом за время t, связаны соотношением: j = 2pN. Отсюда с учетом равенства (3.25)

.

Подставляя данные задачи, получим N = 122 об.

Ответ:

1) ; e = 4 рад/с²;

2) ; w = 12 рад/с;

3) ;

4) ; N = 122 об.

Задача 5. Брусок массой m = 20 кг движется вверх по наклонной плоскости с углом наклона α = 30°. На брусок действует сила F = 150 Н под углом β = 30° к плоскости (рис.3.2). Коэффициент трения бруска о плоскость m = 0,2. Найти силу трения, действующую на брусок, ускорение бруска и путь, пройденный им за первые две секунды движения, если начальная скорость равна нулю.

Решение.

На тело действуют четыре силы: тяжести m , трения , реакции опоры и тяги . Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики поступательного движения) для тела имеет следующий вид:

. (3.26)

Введем систему координат, в которой ось Х направлена по ускорению бруска, ось Y – перпендикулярно наклонной плоскости вверх вдоль силы реакции опоры (рис. 3.2). Начало координат свяжем с положением бруска на момент времени t₀ = 0 с. Запишем уравнение (3.26) в проекциях на координатные оси Х и Y соответственно:

F cosβ –mg sinα - F_m = ma, (3.27)

F sinβ – mg cosα + F_N= 0. (3.28)

Решив систему уравнений (27) и (28) с учетом соотношения F_m = m F_N, найдем F_m и а:

F_m = m ( mg cosα – F sinβ ); F_m = 19 Н.

; а = 0,641 м/с².

Брусок движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью вдоль оси Х, поэтому длина его пути определяется по формуле

; S = 1,28 м.

Ответ:

F_m = m ( mg cosα – F sinβ ); F_m = 19 Н.

; а = 0,641 м/с².

; S = 1,28 м.

Задача 6. Груз массой 2 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый неподвижный блок, с другим грузом массой 4 кг движется вверх по наклонной плоскости с ускорением 4,8 м/с² (рис. 3.3). Найти силу натяжения нити и коэффициент трения между грузом и плоскостью, если угол наклона плоскости к горизонту α = 30°.

Решение.

На первое тело действуют четыре силы: тяжести , трения , реакции опоры и натяжения нити . На второе тело действуют силы: тяжести и натяжения нити . Запишем уравнения движения грузов в векторной форме:

+ + + = (3.29)

+ = . (3.30)

Поскольку нить нерастяжимая, блок не вращается и трение нити о блок не учитывается, натяжение нити (по модулю) всюду одинаково и модули ускорений тел равны между собой:

F₁ = F₂ = F ; а₁ = а₂ = а (3.31)

Выберем удобную для рассмотрения движения каждого тела систему координат, как показано на рис. 3.3. Найдем с учетом равенств (31) проекции векторов, входящих в уравнения (29) и (30), на координатные оси X₁, Y₁ и Х₂ соответственно:

F – m₁g sinα - F_m = m₁a, (3.32)

-m₁g cosα + F_N = 0, (3.33)

m₂g – F = m₂a. (3.34)

Решая систему уравнений (32)-(34) с учетом равенства F_m = mF_N, найдем:

F = m₂ (g – a); F = 20 Н;

; m = 0,35.

Ответ:

F = m₂ (g – a); F = 20 Н;

; m = 0,35.

Задача 7.На блок диаметра 10 см, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр О, намотана невесомая нить, к концу которой привязан груз массой 300 г (рис. 3.4). Груз проходит расстояние 1 м за время 10 с. Найти момент инерции блока относительно оси вращения. Трением в блоке пренебречь.

Решение.

На груз действуют силы: тяжести m , натяжения нити . Будем рассматривать движение груза относительно системы отсчета, ось Х которой направлена вертикально вниз. Груз движется равноускоренно. Уравнение его движения имеет вид

. (3.35)

На блок действуют силы: тяжести , реакции опоры , натяжения нити . Моменты этих сил относительно оси вращения обозначим , , . Вращение блока будем рассматривать относительно системы отсчета, ось Z которой направлена по оси вращения от нас (рис. 3.4). Блок вращается равноускоренно. Уравнение вращательного движения блока:

= + + .

Моменты сил тяжести и реакции опоры равны нулю, поскольку эти силы проходят через центр вращения О, и, следовательно, плечо каждой из сил равно нулю, поэтому

, (3.36)

т.е. векторы и направлены одинаково – по оси вращения Z от нас.

Перепишем уравнение (3.35) в проекциях на ось Х:

ma = mg – F₁. (3.37)

Спроектируем векторы, входящие в уравнение (3.36), на ось Z:

Je = M₃. (3.38)

Модуль момента силы равен произведению силы F₂ на ее плечо, которое равно половине диаметра блока (рис. 3.4):

. (3.39)

Благодаря невесомости нити силы натяжения и равны по модулю:

F₁ = F₂ = F. (3.40)

Модуль тангенциального ускорения а_t точек блока, соприкасающихся с нитью, равен модулю ускорения нити в любой ее точке, а следовательно, и модулю ускорения груза а: а_t = а. Модуль тангенциального ускорения этих точек и модуль углового ускорения блока связаны соотношением: а_t = , отсюда

. (3.41)

Подставим формулы (3.39) и (3.41) в равенство (3.38). Тогда с учетом выражения (3.40) получим:

. (3.42)

Решив систему уравнений (3.37) и (3.42), найдем:

. (3.43)

Величину ускорения груза можно найти, используя формулу для равноускоренного прямолинейного движения. При условии, что начальная скорость груза u₀ = 0, пройденный путь можно определить по формуле (1.19).

,

откуда .

Подставим последнюю формулу в выражение (43) для момента инерции:

.

Используя данные задачи, получим: J = 0,37 кг∙м².

Ответ:

; J = 0,37 кг∙м².

Задача 8. Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости (рис. 3.5). Масса блока 300 г. Коэффициент трения между первым грузом и наклонной плоскостью 0,1. Найти ускорение грузов, если угол наклона плоскости к горизонту 30°. Блок считать однородным диском.

Решение.

Заданная система состоит из трех тел: грузов массами m₁ и m₂ и блока массой m₃. Груз m₁ находится под действием сил: тяжести , реакции опоры , натяжения нити и трения . Второй закон Ньютона для этого груза имеет вид

. (3.44)

На груз m₂ действуют силы: тяжести и натяжения нити . Для него второй закон Ньютона имеет вид

. (3.45)

Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через центр О. На него действуют силы: тяжести , реакции оси и натяжения нити и . Моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Вращение блока вызывается только действием сил натяжения нити. Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения блока следующее:

, (3.46)

где J – момент инерции блока относительно ос<