Получение числа по его дополнительному коду

а) Если в коде старший бит числа равен 0, то есть число положительное. Такое число переводим в десятичную систему счисления в соответствии с правилами позиционной системы исчисления;

б) Если в коде старший бит числа равен 1, то число отрицательное, тогда:

1) инвертируем число;

2) прибавляем 1;

3) переводим в десятичную систему счисления в соответствии с правилами позиционной системы исчисления;

4) записываем со знаком «-».

Использование дополнительного кода позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения.

Пример 11

25₁₀ – 5₁₀ = 25₁₀ + (-5)₁₀ = 20₁₀

Пример 12

Провести следующие вычисления в двоичной форме: 25₁₀ – 35₁₀ = - 10₁₀

25₁₀ = 0001 1001₂ 35₁₀ = 0010 0011₂

|-35₁₀| = 0010 0011₂ модуль числа - 35₁₀

= 1101 1100₂ инверсия модуля числа - 35₁₀

1101 1101₂ дополнительный код числа - 35₁₀

+										дополнительный код числа - 3510
										старший разряд 1
										инверсия результата
+										+ 1
										результат вычитания

Проверка: 0000 1010₂ = 0·2⁷ + 0·2⁶ + 0·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 10₁₀

Пример 13

Провести следующие вычисления в шестнадцатеричной форме: 44₁₀ – 59₁₀ = - 15₁₀

44₁₀ = 2С₁₆

|-59₁₀| = 3В₁₆ модуль числа - 35₁₀

= С4₁₆ инверсия модуля числа - 59₁₀

С5₁₆ дополнительный код числа - 59₁₀

		С
+	С			дополнительный код числа - 3510
	F			старший разряд 1
		Е		инверсия результата
+				+ 1
		F		результат вычитания

Проверка: 0F₁₆ = 0·16¹ + 15·16⁰ = 15₁₀

Представление вещественных чисел

Для практических вычислений формат с плавающей запятой не используется – это формат представления чисел в памяти ЭВМ, не удобна.

Вещественное число N можно представить в системе счисления с основанием k в виде полинома:

,

здесь дробная часть любого вещественного числа содержит ∞ число членов.

Перевод вещественных положительных чисел из 10-ной системы счисления в систему с основанием Р

1) целая часть переводится как в случае с целыми числами;

2) дробная часть умножается на Р, целая часть результата запоминается и отбрасывается.

3) вновь полученная дробная часть умножается на Р и т.д.

4) Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю (или в пределе стремится к нулю, т.к. дробь в пределе является бесконечной);

5) полученный код отделяем от целой части запятой.

Пример 14

Перевести число 10,1₁₀ в двоичный вид

1. целая часть числа 10₁₀ = 1010₂

2. дробная часть числа 0,1

N п/п					запоминаем
	0,1	×		0,2
	0,2	×		0,41
	0,4	×		0,8
	0,8	×		1,6
	0,6	×		1,2
	0,2	×		0,4
	0,4	×		0,8
	0,8	×		1,6
	0,6	×		1,2
	0,2	×		0,4

Проверка: 10,0001100110₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ + 0·2^-1 + 0·2^-2 + 0·2^-3 + 1·2^-4 + 1·2^-5 +

0·2^-6 + 0·2^-7 + 1·2^-8 + 1·2^-9 + 0·2^-10 = 10,099609…

Видно, что результат и исходное число в дробной части отличаются.

Вычислим погрешность для дробной части нашего случая с числом двоичных разрядов после запятой 10

N_{исходное} – N_{получившееся} = абсолютная погрешность

относительная погрешность в процентах.

В нашем случае для : 0,391%.

Расчеты целесообразно вести до разумных пределов по погрешности или до ограничения разрядной сеткой.

Пример 15

Переведем число 973,232₁₀ в шестнадцатеричный код

N п/п					запоминаем
	0,232	×		3,712
	0,712	×		11,392	В
	0,392	×		6,272
	0,272	×		4,352

973,232₁₀ = 3CD,3B64₁₆

Ограничим число разрядов после запятой. Перевести число 3CD,3B₁₆ в десятичный код:

3CD,3B₁₆ = 3·16² + 12·16¹ + 13·16⁰ + 3·16^-1 + 11·16^-2 = 973,23047₁₀

Погрешность 0,202 %

Сложение дробной части вещественного числа в любой системе исчисления осуществляется традиционным образом, т.е. как и децимальной. При этом перенос в целую часть числа особенностей не имеет.

Пример 16

Сложить числа 0,5₁₀ + 0,625₁₀ = 1,125₁₀ в двоичной форме

0,5₁₀ = 0,1₂ 0,625₁₀ = 0,101₂

	0,
+	0,
	1,

0,1₂ + 0,101₂ = 1,001₂

Проверка: 1,001₂ = 1·2⁰ + 0·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 = 1,125₁₀