Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).

Пусть проводится исп-й, в каждом событие может произойти с вер-ю p. Наступление или не наступление события А в каждом испытании не зависит от того произошло ли оно (и сколько раз) в предыдущих испытаниях. В этом случае говорят,что имеются независимые повторные испытания.

Пусть X число наступления события А в n независ.испыт.

{ 1 соб.А произо. в i-испыт

Z_i ={ 0 если нет

q=1-p

M(Z_i)=0q+1p=p

M(X²_i)=0²q+1²p=p

D(Zi)=M(Zi²)-(M(Zi))²=p-p²=p(1-p)=pq

X=Z1+Z2+…Zn

M(X)=M(Z1+…Zn)=M(Z1)+…M(Zn)=p+..+p{n раз}=np

D(X)=D(Z1+..+Zn)=D(Z1)+..+D(Zn)=pq+..pq{n раз}=npq

В частости:

X-число наступления соб-я А

Y-частота наступ.соб-я А

Y=X/n

M(Y)=M(X/n)=M(1/n*X)=1/nM(X)=np/n=p

D(Y)=D(X/n)=D(1/n8X)=1/n²D(X)=npq/n²=pq/n

Если n увеличивается то дисперсия Y уменьшается,т.е.значение Y становится ближе к своему среднему значению.

Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.

Опр.С.в.Х считается распределённой по бинуминарному закону с параметрами n p, если она принимает значения 0,1,2 и т.д.до n с вер-ю:

0<p<1 q=1-p

Следствия.1. Пусть Х число наступлений соб-я Ав n независ.испыт..Тогда Х распределена бинуминар. Закону с параметрами n и p

2. Пусть Х распределена бин.закону с парам n и pТогда

M(X)=np D(X)=npq

Опр. С.в.Х имеет распределение Пуассона если она принимает значения 0,1…n с вер-ю:

M(X)=λ D(X)=λ

Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.

Опр.Функцией распределения F(x) с.в.Х, наз-ся фун-я равная вер-ти того что с.в.Х примет значение <х,F(x)=P(X<x)

Утв. Фун-я распределения любой дискретной с.в.есть разрывная ступенчатая фун-я, скачки которой происходят в точках, соответствующие возможным значениям с.в.и равны вер-тям этих значений. Сумма всех скачков фун-ии равна 1.

Св-ва:

1. 0≤F(x)≤1

2. Фун-я распр.с.в.есть неубывающая фун-ия на всей числовой оси.

3.на -∞ фун-ия равна 0, а на +∞ равна 1

4. Вер-ть попадания с.в.в интервал [x₁,x₂) равна приращению её фун-и распределения на этом интервале,т.е.

P(x₁≤X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁)

Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.

Опр.С.в.Х наз-ся непрерывной, если её фун-я распределения непрерывна в любой точке и диффиренцируема всюду, кроме ,быть может, отдельных точек.

Т. Вер-ть любого отдельно взятого значения с.в.равно 0.

Док-во. Х-нсв х₁-произвол.числ

тогда P(X=x₁)=0

P(X=x1)=lim_a-x1P(xэ[x₁,a))=lim_a-x1(F(a)-F(x1))=lim_a-x1F(a)-lim_a-x1F(x1)=lim_a-x1F(a)-F(x1)=F(x1)-F(x1)=0

Следствие: P(x1≤x<x2)=P(x1<x<x2)=P(x1<x≤x2)=P(x1≤x≤x2)

M(X)=∫^-∞_+∞xφ(x)dx

D(x)= ∫^-∞_+∞(x-a)²φ(x)dx

φ(x)-плотность вероятности

Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.

Опр.Плотность вер-ти н.с.в.Х наз-ся производная её фун-и распределения.

1.плотность не отрицательна

φ(x)≥0

2. Фун-я распред.н.с.в.Х выражается через плотность вре-ти по фор-ле

F(X)=∫^x_-∞φ(t)dt

3. ∫^+∞_-∞φ(t)dt=1

4. вер-ть попадания в заданный интервал

P(x1≤X≤x2)=∫^x2_x2φ(t)dt

Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения

Опр. Вектор Z=(x,y) компоненты Х и У которые яв-ся случ-ми величинами назыв-ся случайным вектором, или двумерной случайной величиной. Например: X-рост чел-ка; У-вес чел-ка ß это двумерные непрерывные величины.

Для дискретных с.в.рассматривают табл.распределения:

x\Y	Y1	…	yn
X1	P11		P1m
:
xn	Pn1		pnm

pij=P(x=xi,y=yj)

Одномерное распр.компон.:

pi=P(X=xi)=

p’j=P(Y=yj)= =

Из одномерного распред.Х и Y двумерное распределение нельзя!Для исследования зависимости X, Y применяют условные распределения.

Опр. Пусть Х приняло значение xi. Услов.распред.Y.При усл.что Х прин.знаение xi, наз-ся условным вер-стей:

Аналогично P_y=yj(X=x_i)=P_ij/P_j

По услов.распред опр.м.о.:

Т.о.услов.м.о. каждому значению одной компоненты ставит в соответствие услов. м.о. другой компоненты,т.е. задаёт числовую функцию на множестве значений 1ой компоненты. Эта фун-я, наз-ся фун-й регрессии.