Суммирование независимых случайных величин

Чрезвычайно важным объектом теории вероятностей является сумма независимых случайных величин. Именно исследования распределения сумм независимых случайных величин заложили фундамент для развития аналитических методов теории вероятностей.

Распределение суммы независимых случайных величин

В данном разделе мы получим общую формулу, позволяющую вычислить функцию распределения суммы независимых случайных величин, и рассмотрим несколько примеров.

Распределение суммы двух независимых случайных величин. Формула свертки

Пусть

независимые случайные величины с функциями распределения

соответственно

Тогда функцию распределения Fсуммы случайных величин

можно вычислить по следующей формуле (формула свертки)

Для доказательства воспользуемся теоремой Фубини.

Аналогично доказывается вторая часть формулы.

Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин

Если распределения обеих случайных величины имеют плотности, то плотность суммы этих случайных величин можно вычислить по формуле

Если распределение случайной величины (или ) имеет плотность, то плотность суммы этих случайных величин можно вычислить по формуле

Для доказательства этих утверждений достаточно воспользоваться определением плотности.

Кратные свертки

Вычисление суммы конечного числа независимых случайных величин производится с помощью последовательного применения формулы свертки. Функция распределения суммы kнезависимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F

называется k–кратной сверткой функции распределения Fи обозначается

Примеры вычисления распределения сумм независимых случайных величин

В этом пункте приведены примеры ситуаций, при суммировании случайных величин сохраняется вид распределения. Доказательства представляют собой упражнения на суммирование и вычисление интегралов.

Суммы независимых случайных величин. Нормальное распределение

Пусть

тогда

Суммы независимых случайных величин.Биномиальное распределение

Пусть

тогда

Суммы независимых случайных величин.Пуассоновское распределение

Пусть

тогда

Суммы независимых случайных величин.Гамма распределение

Пусть

тогда

Пуассоновский процесс

Пусть

последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром

Случайная последовательность точек

на неотрицательной полуоси называется пуассоновский (точечный) процесс.

Вычислим распределение числа точек

пуассоновского процесса в интервале (0,t)

События

эквиваленты, поэтому

Но распределение случайной величины

является распределением Эрланга порядка k, поэтому

Таким образом распределение количества точек пуассоновского процесса в интервале (o,t) это пуассоновское распределение с параметром

Пуассоновский процесс используется для моделирования моментов наступления случайных событий – процесса радиоактивного распада, моментов поступления звонков на телефонную станцию, моментов появления клиентов в системе обслуживания, моментов отказа оборудования.