Вероятностный смысл плотности распределения

Если плотность распределения непрерывна в точке x, то

т.е. плотность это предельный коэффициент пропорциональности между вероятностью Pи мерой Лебега. Отношение плотности в точке x к плотности в точке y показывает насколько вероятнее малая окрестность точки x такой же малой окрестности точки y. У равномерного распределения на отрезке [a,b] плотность постоянна на [a,b] ,т.е. все окрестности одинаковой длины имеют одинаковую вероятность. Это хорошо согласуется с представлением о совершенно случайном выборе точки из отрезка.

Бета-распределение на отрезке [0,1]

Связь между бета-функцией и гамма-функцией выражается соотношением

Рассмотрим функцию Эта функция неотрицательна, и при положительных a и b существует интеграл , который называется бета-функция в точке (a,b).

Тогда функция

будет плотностью. Соответствующее ей распределение называется бета-распределение с параметрами (a,b) на отрезке [0,1].

В частном случае, при a=1 и b =1 получается равномерное распределение на отрезке [0,1]. Бета-распределение используется для моделирования ситуаций в которых точка случайно, но, вообще говоря, неравномерно выбирается из отрезка. Для того, чтобы понять, как устроено это распределение, построим график плотности бета-распределения при различных значениях параметров (a,b)

a=2 ,b=4

a=4 ,b=2

a=4 ,b=4

При a и b, больших единицы, плотность обращается в 0 на концах отрезка и имеет максимум в точке

Эта плотность подходит для моделирования ситуаций, в которых случайная точка имеет наибольшую вероятность находиться в окрестности точки x₀ , например, стрельба по отрезку, при которой точка x₀ является точкой прицеливания.

Придумайте примеры ситуаций, которые естественно описывать следующими бета-распределениями

При a и b, меньших единицы, вид плотности радикально меняется. a=1/2 , b=1/2

a=1/4 , b=2/3

Наконец, приведем вид плотности бета-распределения при a=1/4 , b=4

Для бета-распредления распределения используют обозначение

.

Смеси распределений.

Пусть

конечный или счетный набор распределений на одном и том же измеримом пространстве и

дискретное распределение, т.е.

Тогда функция

так же будет распределением, которое называется смесь распределений

Числа

называются коэффициентами смеси.

Ситуацию, в которой возникает смесь распределений, можно представить себе, например, так. Случайно, в соответствии с распределением

выбирается одна из вероятностей

а затем проводится эксперимент в соответствии с выбранной вероятностью.

При смешивании распределений, очевидно, аналогичным образом смешиваются их функции распределения и (если существуют) плотности. Смешаем два бета-распределения B(2,6) и B(6,2) с коэффициентами 1/2. График плотности получившегося распределения приведен на рисунке

Данную плотность можно использовать для моделирования стрельбы по одной мишени двух стрелков, один из которых целится в точку

а другой – в точку

Смешивая различные бета-распределения, можно моделировать различые способы выбора случайной точки на отрезке. На следующем рисунке приведен график плотности смеси пяти бета-распределений.