Количество элементов в подмножестве

Если количество элементов в подмножестве A конечно, то будем обозначать его так

Отношения между подмножествами

Вложение

Подмножество В вложено в подмножество A, если любой элементарный исход, содержащийся в B также содержится и в A.

Интерпретация:

Стрелкой будем пользоваться также и для утверждений типа: “из A следует B”в формулировках определений и теорем

из B следует A

Т.е, если произошло B, то произошло и A.

Несовместность

Подмножества A и B называются несовместными (непересекающимися), если они не содержат общих элементарных исходов.

В теории вероятностей это означает, что A и B одновременно произойти не могут.

Противоположность

Подмножества A и B называются противоположными или дополнительными друг к другу, если они несовместны и их объединение достоверно.

В теории вероятностей это означает, что в опыте обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.

Убывающая последовательность событий

Пусть

последовательность событий.

Она называется убываюшей, если каждое следующее событие этой последовательности вложено в предыдущее.

Аналогично можно определить возрастающую последовательность событий.

Формулы

·

Для доказательства равенства двух подмножеств A и B достаточно показать, что A вложено в B, и что B вложено в A

Следующие формулы позволяют выразить одни операции с подмножествами через другие. Доказательства проведите сами.

Полная группа подмножеств

Полной группой подмножеств называется конечный набор или счетная последовательность попарно несовместных подмножеств объединение которых достоверно:

В опыте обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.

Любые два противоположных подмножества образуют полную группу подмножеств.

Если пространство элементарных исходов конечно или счетно, то сами элементарные исходы являются полной группой подмножеств.

Алгебра и сигма-алгебра

При построении математической модели случайного объекта необходимо не только указать все возможные элементарные исходы опыта, но и определить (перечислить) все возможные события, которые могут произойти в этом опыте. Принято следующее определение:

Алгебра событийAэто набор подмножеств пространства элементарных исходов для которого выполняются следующие условия:

Сигма - алгебра событийFэто набор подмножеств пространства элементарных исходов для которого выполняются следующие условия:

и для любой счетной последовательности

Очевидно, что любая сигма-алгебра является алгеброй, но не наоборот.

Колмогоров показал, что естественной математической моделью для множества событий является сигма-алгебра.

Очевидным примером сигма-алгебры является набор всех подмножеств пространства элементарных исходов – это наибольшая сигма-алгебра, возможная на данном пространстве элементарных исходов.

Наименьшая (тривиальная) сигма-алгебра это следующий набор подмножеств

Если алгебра или сигма-алгебра содержит событие A , то она обязана содержать и отрицание A. Поэтому минимальное число подмножеств в нетривиальной сигма-алгебре равно 4.

Алгебры и сигма-алгебры обозначаем жирными наклонными латинскими буквами.

Случайные события

Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.