Внутренние усилия. Правила построения их эпюр.

Внешняя нагрузка, действуя на составные части любого строительного сооружения, приводят к возникновению в элементах конструкции внутренние напряжения и деформации. В строительной механике рассчитывают следующие характеристики напряжений и деформаций – внутренние усилия и перемещения.

В элементах стержневой системы на плоскости могут возникать три вида внутренних усилий: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Положительные значения указанных усилий в зависимости от направления внутренних усилийопределяются как на рисунке, приведенном ниже:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр

Изгибающий момент (М) – это сумма моментов, создаваемых силами, расположенными слева (или справа) относительно рассматриваемой точки (момент создается относительно оси z).

Поперечная сила (Q) – это сумма проекций всех сосредоточенных сил, расположенных слева (или справа) относительно рассматриваемой точки, на ось y.

Продольная сила (N) – это сумма проекций всех сосредоточенных сил, расположенных слева (или справа) относительно рассматриваемой точки, на ось x.

При построении эпюр для Q и N ординаты со знаком "+" откладывают вверх от нейтральной оси эпюры, а отрицательные – вниз. Эпюра М всегда изображается на стороне растянутого волокна балки, т.е. значения со знаком "+" откладываются вниз от нейтральной оси эпюры, а отрицательные – вверх.

Между эпюрами изгибающего момента (М) и поперечной силы (Q) существует прямая зависимость – поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки (теорема Журавского).

Q=dM/dx

Правила для проверки правильности построения эпюр:

1. На участках стержня, на которые действует равномерно распределенная нагрузка q эпюра изгибающих моментов М имеет вид выпуклой (вогнутой) кривой (выпуклость этой кривой направлена в ту сторону, куда направлена распределенная нагрузка), эпюра Q – наклонной прямой.

2. В местах расположения на стержне сосредоточенной силы P на эпюре поперечной силы Q всегда будет перепад на величину этой сосредоточенной силы. В месте расположения сосредоточенного момента на эпюре изгибающих моментов М также всегда будет перепад на величину этого сосредоточенного момента.

3. Если эпюра поперечной силы (Q) имеет один знак, то эпюра изгибающего момента (М) или возрастает или убывает (если знак Q "– " ординатами эпюры М слева на право увеличиваются).

4. Величина поперечной силы (Q) равна тангенсу угла между касательной к эпюреизгибающего момента (М) и нейтральной осью эпюры.

5. В точках балки, в которых эпюра поперечной силы (Q) пересекает нейтральную ось (Q=0) на эпюре изгибающего момента (М) располагается максимум или минимум.

6. По виду линии эпюры изгибающего момента (М) можно определить знак эпюрыпоперечной силы (Q). Для этого нейтральную ось эпюры M необходимо повернуть до совпадения с касательной к линии эпюры М. Если поворот будет почасовой стрелке, Q будет со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «–». При этом угол поворота должен быть меньше 90°.

Расчет однопролетных балок

Задачи по определению внутренних усилий в однопролетных балках входят в курс предметов "Строительная механика" и "Сопротивление материалов".

Количество степеней свободы для плоской стержневой системы определяется по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа:

W = 3Д – 2Ш – С0

При W=0 –система неизменяема и статически определима (т.е. может быть решена путем составления уравнений равновесия).

Для определения реакций в опорах применяется принцип освобождения от связей – систему можно освободить от связей, если эти связи (например, опоры) заменить реакциями. Далее составив уравнения равновесия для новой полученной системы определяют величины введенных реакций.

Уравнения равновесия для плоской системы можно составить в следующих видах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

В элементах стержневой системы на плоскости могут возникать три вида внутренних усилий: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Положительные значения указанных усилий в зависимости от направления внутренних усилий определяются как на рис. 1:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Рисунок 1. Правило знаков для внутренних усилий

Методы определения усилий в статически определимых системах

Для определения усилий в строительной механике применяются различные методы: простых сечений, совместных сечений, вырезания узла и замены связей.

Метод простых сечений

При расчете этим метод внутреннее усилие рассматривают как внешнюю нагрузку и определяют его путем составления и решения уравнения равновесия.

Например, внутренние усилия балки (рис. 1, а).

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Рисунок 1. Метод простых сечений

Алгоритм расчета данным методом:

1) провести через любую точку стержня разрез;

2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;

3) составить уравнения равновесия;

4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N;

5) построить эпюры M, Q, N по найденным значениям внутренних усилий.

Метод совместных сечений

Данный метод применяется при расчете составных систем.

Например, при расчете трехдисковой рамы (рис. 2, а) проводятся три совместных сечения I, II, III. В точках рассечения междисковых связей появляются 9 реакций (рис. 2, б): реакции в опорах R1, R2, H и реакции X1, X2, X3,Y1, Y2, Y3. Величины данных реакций определяются посредством составления уравнений равновесия.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Рисунок 2. Метод совметсных сечений

Алгоритм расчета данным методом:

1) провести через несколько точкек для рассматриваемой системы разрезы, деля данную конструкцию на составные части;

2) отметить возникшие реакции в рассеченных связях;

3) для каждой полученной составной части диска составить уравнения равновесия;

4) рассчитать систему полученных уравнений;

5) построить эпюры для каждой составной части заданной конструкции;

6) построить совместные эпюры для всей системы.

Метод вырезания узла

Данный метод применяется при расчете внутренних усилий в простых системах.

Алгоритм расчета данным методом:

1) можно вырезать узел только с двумя стержнями, сходящимися в нем, внутренние усилия в которых неизвестны;

2) продольные силы, действующие в узле, проецируются на соответствующие оси (для плоской системы x и y);

3) решая составленные уравнения, определяют неизвестные внутренние усилия.

Метод замены связей

Данный метод применяется при определении внутренних усилий в сложных статически определимых систем, для расчета которых использовать выше перечисленные способы трудно.

Алгоритм расчета данным методом:

1) сложная система преобразуется в более простую посредством перемещения связей;

2) из условия равенства изначально заданной и заменяющей систем определяется внутреннее усилие в переставленной связи;

3) полученная система рассчитывается одним из выше описанных способов.

Примеры задач с решениями.

С. Задача 1

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Подробнее: С. Задача 2

С. Задача 3

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 3

С. Задача 4

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 4

Примеры с решениями.

С. Задача 1

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Однопролетная балка

1) Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Т.к., значение реакции RA получилось отрицательным, то меняем ее направление на расчетной схеме (новое направление обозначаем пунктирной линией), учитывая в дальнейшем новое направление и положительное значение этой реакции.

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

2) Строим эпюру изгибающих моментов М (построение эпюры ведется с любого "свободного" конца балки):

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

3) Строим эпюру поперечных сил Q. Производим построение эпюры поперечных сил (Q), используя формулу Журавского:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

где Мпр, Млев – ординаты изгибающего момента на правом и левом концах рассматриваемого участка балки;

l – длина рассматриваемого участка балки;

q – величина распределенной нагрузки на рассматриваемом участке.

Знак «±» в формуле ставится в соответствии с правилом знаков поперечных сил, рассмотренным выше (рисунок 1).

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для составной рамы.

Разделяем составную раму на две части: вспомогательную и основную (статически определимую и геометрически неизменяемую).

Расчет начинаем со вспомогательной рамы.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Составная рама

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Вспомогательная часть рамы

1) Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Эпюры внутренних усилий для вспомогательной рамы

4) Строим эпюру продольных сил N:

Рассматриваем узел G:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Вырезание узла дляпостроение эпюры продольных сил

Рассматриваем основную часть. Число степеней свободы для основной рамы должно равняться 0 (статически определимая и геометрически неизменяемая):

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Переносим реакции в шарнире Ш1 со вспомогательной части на основную, меняя направление.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Основная часть составной рамы

1.1) Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

1.2) Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Определим значение изгибающего момента в шарнире Ш2:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Т.к., значение изгибающего момента в шарнире должно равняться нулю.

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Эпюры внутренних усилий для основной части составной рамы

4) Строим эпюру продольных сил N:

Рассматриваем узел K:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Поскольку на балке BK в точке Ш1 находится сила, действующая вдоль балки (т.е. продольная), то в этом месте должен быть скачок на ее величину на эпюре продольных сил (N). Методом вырезания узла K определено значение продольной силы на балке BK возле узла K. Поскольку усилие RШ1 направлено к узлу, то скачок в точке Ш1 будет в «−».

Рассматриваем узел N (на балке правее узла N не возникает продольной силы, т.к. на ней нет внешних нагрузок, действующих вдоль балки):

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Вырезание узлов дляпостроение эпюры продольных сил

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Консольная балка

1) Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

С. Задача 3

Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru Ломаный стержень

1) Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

4) Строим эпюру продольных сил N:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

С. Задача 4

Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Ломаная балка

1) Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

4) Строим эпюру продольных сил N:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Расчет многопролетных балок

Расчет статически определимой многопролетной балки при расчете сооруженийнеобходимо начинать с анализа взаимодействия отдельных ее элементов и построения «поэтажной схемы» многопролетной балки.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Поэтажные схемы для многопролетных балок

Проверку на геометрическую неизменяемость и статическую определимость для многопролетной балки выполняют по основной формуле кинематического анализа.

При построении поэтажной схемы в многопролетной балке выделяют основные и вспомогательные балки.

Виды основных балок:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Виды основных балок

Вспомогательную балку можно удалить из многопролетной балки без нарушения неизменяемости оставшейся части, поэтому вспомогательную балку можно рассчитать независимо от оставшейся части, причем ее опорные реакции будут служить внешними силами для оставшейся. Вспомогательные балки опираются на основные и поэтому при построении поэтажной схемы их располагают над основными, т.е. все вышерасположенные балки являются вспомогательными по отношению к нижерасположенным. Соответственно, расчет многопролетной балки начинают с самой верхней вспомогательной балки, представляя ее как статически определимую и геометрически неизменяемую систему.

С. Задача 1

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

Подробнее: С. Задача 2

С. Задача. Метод матриц

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построить эпюры внутренних усилий и линии влияния для указанного сеченияметодом матриц.

С. Задача 1

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Многопролетная балка

Рассчитываем балку Ш2С:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Балка Ш2С

Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Построение эпюр выполняется как для простой однопролетной балки.

Рассчитываем балку Ш1Ш2:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Балка Ш1Ш2

Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Рассчитываем балку АШ1:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Балка АШ1

Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Многопролетная балка

Рассчитываем балку АШ1:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Балка АШ1

Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Рассчитываем балку Ш2D:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Балка Ш2D

Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Рассчитываем балку BC:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Балка BC

Определяем реакции в опорах:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Проверка:

Внутренние усилия. Правила построения их эпюр. - student2.ru

Наши рекомендации