Естественные координатные оси

Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюсяплоскость,нормальную плоскость, перпендикулярную касательной, и спрямляющуюплоскость, перпендикулярную соприкасающейся и нормальной плоско­стям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник(рис. 9.1).

Рис. 9.1

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей на­зывается главной нормалью кривой.

Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей назы­вается бинормалью кривой.

Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возраста­ния дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленная по отношению к каса­тельной и главной нормали так же, как ось Оz направлена по отно­шению к осям Ох и Оу в правой системе координатных осей. Единичные векторы-орты этих осей обозначаются соответственно .

Естественные координатные оси имеют начало в точке М кривой и при движении точки М по этой кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.

Возьмем на кривой АВ две точки М и M₁, соответствующие дуговым координатам ОМ =s и ОМ=s+Δs. Покажем орты каса­тельной и в этих точках (рис. 9.2). Модуль орта , равный еди­нице, постоянен, но направление орта изменяется при перемещении точки по кривой, т. е. орт является переменным вектором.

Определим приращение орта на участке mm₁=Δs. Для этого отложим от точки М орт и построим при этой точке парал­лелограмм, одной из сторон которого будет орт , а диагональю - орт . Тогда другая сторона параллелограмма будет приращением орта , так как = +Δ .

Разделим приращение орта на приращение дуговой координаты Δs. Вектор , характеризующий поворот касательной к кривой на участке MM₁, называется вектором средней кривизны кривой на участке ММ₁. Этот вектор имеет направление вектора Δ , т.е. направлен в сторону вогнутости кривой.

Рис. 9.2 Рис. 9.3

Предел , к которому стремится вектор средней кривизны кри­вой , когда Δs стремится к нулю, называется вектором кривизны кривой в данной точке:

.

Орт касательной к кривой является вектор-функцией дуговой коор­динаты s, так как его направление зависит от положения точки на кривой, т.е. . Тогда

.

Следовательно, вектор кривизны кривой в данной точке равен про­изводной от орта касательной к кривой по дуговой координате.

Для определения модуля этого вектора рассмотрим равнобедрен­ный треугольник, образованный (рис. 9.2).

Угол ε между направлениями касательных в двух точках кривой М и M₁ называется углом смежности. При малом расстоянии Δs угол смежности тоже мал.

Модуль |Δτ| найдем как длину основания равнобедренного тре­угольника с малым углом ε при вершине и боковыми сторонами, равными единице. Тогда

.

Модуль вектора кривизны К определяется по формуле

.

Из дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла смежности ε к приращению дуговой координаты Δs при стремле­нии Δs к нулю равен кривизне кривой 1/ρ, при ρ - радиус кри­визны кривой в точке М. Таким образом, получим модуль вектора кривизны

.

Установим также направление вектора кривизны. Вектор средней кривизны находится в плоскости треугольника, составленного векторами , предельным положением которого является соприкасающаяся плоскость. Следовательно, вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости.

Рассмотрим угол β, составленный вектором с касательной в точке М (рис. 9.2):

.

При приближении точки М₁ к точке М угол смежности ε стре­мится к нулю, а поэтому

.

Так кик вектор кривизны расположен в соприкасающейся пло­скости и перпендикулярен орту , то он направлен по главной нор­мали к центру кривизны кривой (рис. 9.3).

Представим вектор в виде произведения орта на модуль этого вектора:

,

где ρ = МС - радиус кривизны кривой в данной точке М.

Скорость и ускорение точки

Скорость точки

Определим скорость точки в случае, когда ее движение задано естественным способом, т. е. известныее траектория АВ, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения точки (рис. 9.4).

Рис. 9.4 Рис. 9.5

Пусть в момент времени t точка занимает положениеМ, а вмомент t₁=t+Δt - положение М₁, Дуговые координаты этих точек имеют следующие значения:

.

Приращение дуговой координаты .

Проведем из произвольного центра О’ в точку М радиус-вектор и определим скорость точки в момент t по формуле:

.

Введем в качестве промежуточной переменной дуговую координату s, от которой зависит радиус-вектор движущейся точки. Действи­тельно, каждому значению s соответствует определенное значение , т. е. можно рассматривать не только как функциюt, но и как функ­цию s, полагая . Тогда

.

Здесь

.

Вектор направлен так же, как вектор . При егонаправление стремится к направлению касательной, проведеннойизточки М в сторону увеличения дуговой координаты s. Модуль этого вектора стремится к единице:

.

Таким образом, вектор имеет модуль, равный единице, и направлен по касательной к кривой в сторону увеличения дуговой координаты. Вектор d /ds является ортом этого направления. Обозначим этот орт (рис. 9.5):

. (9.1)

Пользуясь формулой (9.1), получаем вектор скорости в виде

. (9.2)

Производная ds/dt в выражении (9.2) представляет собой проек­цию скорости на касательную, т. е. определяет алгебраическую величину скорости.

Условимся алгебраическую величину скорости обозначать симво­лом , а модуль скорости - v. Тогда

, (9.3)

а

, (9.4)

т. е. модуль скорости равен абсолютному значению производной от ду­говой координаты точки по времени.

Орт касательной , как показано выше, всегда направлен в сто­рону увеличения дуговой координаты.

Если в некоторый момент времени ds/dt > 0, то в этот момент функция s возрастает, т.е. точка движется в сторону увеличения s и направление скорости совпадает с направлением орта (рис. 9.6, а). Если ds/dt < 0, то в этот момент функция s убывает в направление скорости противоположно направлению орта (рис. 9.6, б).

Рис. 9.6

Если, непрерывно изменяясь, производная ds/dt при переходе через значение ds/dt=0 изменяет знак, то дуговая координата s в этот момент времени достигает максимумаилиминимума, т. е. изменяется направ­ление движения точки.

Таким образом, знак =ds/dt указывает направление движения точки по траектории. При движении точки в сторону возрастания дуговой координаты ds/dt > 0, т. е. во все моменты времени, а потому модуль скорости

.(9.5)

Ускорение точки

Определим проекции ускорения точки на естественные координат­ные оси. Для этого представим вектор скорости точки по формуле:

Определим ускорение точки, продифференциро­вав по t произведение двух переменных величии:

Найдем

Так как проекция скорости на касательную может отли­чаться от модуля скорости v только знаком, то

Подставив эти выражения, получим вектор ускорения в виде

(9.6)

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормаль­ным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением точки (рис. 9.8):

(9.7)

где нормальное ускорение точки

(9.8)

а касательное ускорение точки

(9.9)

Скалярные множители и в выражениях (9.8) и 9.(9), определяющих нормальное и касательное ускорения точки, представляют собой проекции ускорения точки на главную нормаль и касательную.

Проекция ускорения точки на бинормаль оказалась равной ну­лю, так как вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости (рис. 9.7).

Согласно формуле (8),

, (9.10)

Рис. 9.7

т. е. проекция ускорения точки на главную нормаль равна квадрату модуля скорости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Эта проекция всегда положительна. Из это­го следует, что нормальное ускорение точки всегда направлено к центру кривизны траектории и равно по модулю этой проекции.

Условимся алгебраическую величину касательного ускорения обозначать , а его модуль . Согласно формуле (9.9)

(9.11)

т.е. проекция ускорения точки на касательную равна второй произ­водной от дуговой координаты точки по времени или первой произ­водной от алгебраической величины скорости точки по времени.

Эта проекция имеет знак плюс, если направления касательного ускорения точки и орта совпадают, и знак минус, если они про­тивоположны. Очевидно, что

(9.12)

Таким образом, в случае естественного способа задания движения, когда известны траектория точки, а следовательно, ее радиус кри­визны ρ в любой точке и уравнение движения s=f(t), можно найти проекции ускорения точки на естественные оси и по ним определить модуль и направление ускорения точки:

,

где и - углы, образованные направлением ускорения с при­нятыми направлениями касательной и главной нормали в данной точке.

Если проекции скорости и касательного ускорения , на каса­тельную и , имеют одинаковые знаки, то и направ­ления этих векторов совпадают, т. е. точка движется ускоренно.

Если же их проекции и имеют различные знаки, то и направления и , противоположны, т.е. точка дви­жется замедленно.

Модуль касательного ускорения точки , можно также определить по формуле

(9.13)

где v - модуль скорости точки.

При этом, если dv/dt > 0, т. е. модуль скорости возрастает, точка движется ускоренно, а если dv/dt < 0 — замедленно.

При прямолинейном движении точки радиус кривизны траектории и, следовательно,

.

Нормальное ускорение существует лишь при криволинейном дви­жении точки и характеризует изменение направления скорости.

При равномерном движении точки v=const и, следовательно,

Касательное ускорение точки существует лишь при неравномерном движении точки и характеризует изменение модуля скорости.

В том случае, если требуется определить касательное и нормаль­ное ускорения движения точки, заданного уравнениями движения, то сначала по формулам определяют модули скорости и ускорения точки:

Согласно формуле (9.13)

или

где знак плюс, полученный в ответе после вычисления дроби соответствует ускоренному движению точки, а знак минус - замедленному. Нормальное ускорение точки определяется по формуле:

Радиус кривизны кривой находим по формуле (9.10):