Условия равновесия сходящейся системы сил

Векторная форма

Пусть к твердому телу в точках приложены сходящиеся силы (рис. 2.8). Все эти силы можно перенести в точку О пересечения линий их действия и, строя треугольники сил, последовательно сложить. Тогда равнодействующая этих сил изобразится замыкающей стороной многоугольника сил.

Рис. 2.8

Таким образом, равнодействующая сходящихся сил приложена в точке О пересечения линий действия сил и равна их геометрической сумме:

. (2.6)

Направление равнодействующей по контуру силового многоугольника противоположно направлению обхода этого контура, определяемому направлением первой силы.

Если к твердому телу приложены три сходящиеся силы, не лежащие в одной плоскости, то их равнодействующая приложена в точке пересечения линий действия сил и изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (рис. 2.9).

Правило сложения трех сходящихся сил в пространстве называется правилом параллелепипеда сил.

Сходящиеся силы уравновешиваются в случае, если их равнодействующая равна нулю, т.е. многоугольник сил замкнут(рис. 2.10):

Рис. 2.9 Рис. 2.10

,

или

. (2.7)

В замкнутом многоугольнике сил все силы направлены по контуру многоугольника в одну сторону по обходу многоугольника.

Условие равновесия сходящихся сил, расположенных в пространстве и на плоскости, одно и то же. Однако графический метод решения задач на равновесие сходящихся сил практически применяется только для сил, расположенных в одной плоскости. Решение задач на равновесие сходящихся сил в пространстве построением замкнутого многоугольника сил весьма сложно, так как стороны этого многоугольника не лежат в одной плоскости.

Аналитическая форма

Равнодействующая сходящихся сил (рис. 2.11) равна геометрической сумме этих сил:

.

Рис. 2.11

Проекция равнодействующей на каждую из координатных осей равна алгебраической сумме проекций всех составляющих:

(2.8)

здесь проекции сил вычисляются по формулам:

Формулам (3) можно придать вид

(2.9)

причем i=1,2,…,n.

Вычислив проекции равнодействующей X, У и Z, найдем модуль и направление равнодействующей по формулам (2.8) и (2.9):

В случае если силы взаимно уравновешиваются, их равнодействующая равна нулю. Так как

.

Таким образом, для сходящихся сил в пространстве имеем следующие три уравнения равновесия:

(2.10)

При помощи уравнений (2.10) можно решать задачи на равновесие сходящихся сил, если число неизвестных в задаче не превышает трех. Такой метод решения этих задач называется аналитическим.

Для сходящихся сил, расположенных в одной плоскости, получаем два уравнения равновесия:

. (2.11)

При помощи этих уравнений можно решить задачу на равновесие сходящихся сил на плоскости, если число неизвестных в ней равно двум.

Если в задаче на равновесие сходящихся сил число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то ее нельзя решить методами статики твердого тела.