Глава 5. «Предельные законы теории вероятностей».
Пример 5.1. Дана случайная величина с математическим ожиданием
и дисперсией
. Оценить сверху вероятность того, что величина
отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на
.
Решение. Полагая во втором неравенстве Чебышева , получим
,
т.е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше 1/9 ни при каком законе распределения.
Замечание. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина выйдет за пределы участка
, значительно меньше 1/9. Например, для нормального закона эта вероятность приблизительно равна 0.003.
Пример 5.2.Среднее значение скорости ветра в данной местности равно 16 км/час. Оценить вероятность того, что в данной местности скорость ветра (при одном наблюдении) не превышает 80 км/час.
Решение.По первой форме неравенства Чебышева находим
.
Пример 5.3.Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/час, а км/час. Какие скорости ветра можно ожидать на этой высоте с вероятностью не меньшей чем 0.9?
Решение. Пусть - скорость ветра. Тогда по второму неравенству Чебышева имеем
.
Следовательно, с вероятностью, большей 0.9, имеем .
Пример 5.4. 4 станка производят детали из стали марки , 6 других – из стали марки
. Определить вероятность того, что из 500 взятых деталей количество деталей из стали марки
будет заключено в пределах от 180 до 220.
Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева для оценки нижней границы искомой вероятности .
Имеем .
.
.
С другой стороны, эту вероятность можно более точно вычислить (оценить) по теореме Муавра–Лапласа:
,
.
Пример 5.5.Станок–автомат требует подналадки в среднем один раз за 4 часа работы. Определить вероятность того, что за 10 суток непрерывной работы подналадка осуществлялась ровно 70 раз.
Решение.Имеем n = 240; m = 70; p = 0.25; q = 0.75.
По локальной теореме Муавра–Лапласа получаем
.
По закону Пуассона эта вероятность .
Пример 5.6. В страховой фирме застраховано 10 тысяч лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный в начале года вносит 12 долларов страховых, и, в случае смерти, его родственники получают от фирмы тысячу долларов. Найти вероятность того, что:
1) фирма потерпит убыток;
2) фирма получит прибыль, не меньшую чем x тысяч долларов .
Решение. Вероятность убытков для страховой фирмы есть вероятность смерти в течении года более чем 120 застрахованных.
Тогда по формуле Муавра–Лапласа имеем
.
У нас ;
;
.
Тогда с точностью до 10 знаков после запятой
.
Получение прибыли в xтысяч долларов и более может быть, если в течении года из застрахованных умрёт не более чем человек. В этом случае вероятность получения фирмой прибыли (П) не менее величины xравна:
При получим:
.
Пример 5.7.Три станка, производительности которых соотносятся как 5:3:2, производят детали на общий конвейер. Определить вероятность того, что из 240 деталей, взятых случайным образом с конвейера, деталей, произведенных вторым станком будет от 60 до 70.
Решение.Искомую вероятность определяем по интегральной формуле Муавра–Лапласа:
Пример 5.8.Вероятность изделию быть бракованным равна 0,05. Сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 среди них оказалось не менее 50 бракованных?
Решение.Необходимо найти число n, удовлетворяющее интегральной формуле Муавра–Лапласа
P(50 Ј m Ј n) = –
і 0,9 .
Оценим значение
=
» Ф(4,3
) і Ф(30) » 0,5.
Тогда Ј – 0,4.
По таблице функции Лапласа находим, что Ф(х) = – 0,4 при х = 1,28.
Поэтому получаем соотношение Ј 1,28
или 0,05Чn – 0,282Ч – 50 і 0.
Решая последнее неравенство, находим n і 1196, то есть следует взять не менее 1196 изделий.