Глава 5. «Предельные законы теории вероятностей».

Пример 5.1. Дана случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией . Оценить сверху вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на .

Решение. Полагая во втором неравенстве Чебышева , получим

,

т.е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше 1/9 ни при каком законе распределения.

Замечание. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина выйдет за пределы участка , значительно меньше 1/9. Например, для нормального закона эта вероятность приблизительно равна 0.003.

Пример 5.2.Среднее значение скорости ветра в данной местности равно 16 км/час. Оценить вероятность того, что в данной местности скорость ветра (при одном наблюдении) не превышает 80 км/час.

Решение.По первой форме неравенства Чебышева находим

.

Пример 5.3.Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/час, а км/час. Какие скорости ветра можно ожидать на этой высоте с вероятностью не меньшей чем 0.9?

Решение. Пусть - скорость ветра. Тогда по второму неравенству Чебышева имеем .

Следовательно, с вероятностью, большей 0.9, имеем .

Пример 5.4. 4 станка производят детали из стали марки , 6 других – из стали марки . Определить вероятность того, что из 500 взятых деталей количество деталей из стали марки будет заключено в пределах от 180 до 220.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева для оценки нижней границы искомой вероятности .

Имеем .

.

.

С другой стороны, эту вероятность можно более точно вычислить (оценить) по теореме Муавра–Лапласа:

,

.

Пример 5.5.Станок–автомат требует подналадки в среднем один раз за 4 часа работы. Определить вероятность того, что за 10 суток непрерывной работы подналадка осуществлялась ровно 70 раз.

Решение.Имеем n = 240; m = 70; p = 0.25; q = 0.75.

По локальной теореме Муавра–Лапласа получаем

.

По закону Пуассона эта вероятность .

Пример 5.6. В страховой фирме застраховано 10 тысяч лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный в начале года вносит 12 долларов страховых, и, в случае смерти, его родственники получают от фирмы тысячу долларов. Найти вероятность того, что:

1) фирма потерпит убыток;

2) фирма получит прибыль, не меньшую чем x тысяч долларов .

Решение. Вероятность убытков для страховой фирмы есть вероятность смерти в течении года более чем 120 застрахованных.

Тогда по формуле Муавра–Лапласа имеем

.

У нас ; ; .

Тогда с точностью до 10 знаков после запятой

.

Получение прибыли в xтысяч долларов и более может быть, если в течении года из застрахованных умрёт не более чем человек. В этом случае вероятность получения фирмой прибыли (П) не менее величины xравна:

При получим:

.

Пример 5.7.Три станка, производительности которых соотносятся как 5:3:2, производят детали на общий конвейер. Определить вероятность того, что из 240 деталей, взятых случайным образом с конвейера, деталей, произведенных вторым станком будет от 60 до 70.

Решение.Искомую вероятность определяем по интегральной формуле Муавра–Лапласа:

Пример 5.8.Вероятность изделию быть бракованным равна 0,05. Сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 среди них оказалось не менее 50 бракованных?

Решение.Необходимо найти число n, удовлетворяющее интегральной формуле Муавра–Лапласа

P(50 Ј m Ј n) = – і 0,9 .

Оценим значение

= » Ф(4,3 ) і Ф(30) » 0,5.

Тогда Ј – 0,4.

По таблице функции Лапласа находим, что Ф(х) = – 0,4 при х = 1,28.

Поэтому получаем соотношение Ј 1,28

или 0,05Чn – 0,282Ч – 50 і 0.

Решая последнее неравенство, находим n і 1196, то есть следует взять не менее 1196 изделий.