Прямая и обратная пропорциональности
Если t - время движения пешехода (в часах), s - пройденный путь ( километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t Так как каждому значению t соответствует единственное значение, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задан функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяю следующим образом.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функции которая может быть задана при помощи формулы у =kx, где k не равное нулю действительное число.
Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае .
Это число называют коэффициентом пропорциональности.
Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше.
Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т. е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.
Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.
1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел.
2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.
![]() |
Например, чтобы построить график функции у = kх, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7).
3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения, при k < 0 — убывает на всей области определения.
4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) -пары соответственных значений переменных х и у, причем х2 ¹ 0, то
Рис. 7
Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у1 = kх1, у2 = kх2 . Так как х2 ¹ 0 и k ¹ 0, то у2¹ 0. Поэтому и значит
Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные целые числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.
Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?
Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы - величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначит буквой у, время работы х, а производительность – k, то получим, что или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.
Решить задачу можно двумя арифметическими способами:
1 способ: 2 способ:
1) 16:8 =2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)
2) 48:2=24(ч) 2) 8×3=24(ч)
Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48.
При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.
Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.
Если t - время движения пешехода (в часах), v- его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v × t = 20 или v = . Так как каждому значению t (t¹0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =
. задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.
Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы где k - не равное нулю действительное число.
Название данной функции связано с тем, что в есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k (k ¹ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.
Функция является математической моделью многих реальных ситуации, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.
Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности.
Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х×у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k = 12. Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.
1. Областью определения функции областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.
2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.
3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция является убывающей на всей области определения х (рис.8). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четверти функция
является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).
у у
k > 0 k < 0
х х
Рис.8 Рис.9
4. Если функция f – обратная пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) – пары соответствующих значений переменных х и у, то
Действительно, если функция f - обратная пропорциональность, она может быть задана формулой и тогда
,
. Так как х1 ¹ 0, х2¹ 0, то
.
Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.
Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?
Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ - k, то получим, что ху = k или ,т. е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность.
Решить задачу можно двумя способами:
1 способ: 2 способ:
1) 10×6 =60 (км) 1) 20:10=2 (раза)
2) 60:20=3(ч) 2) 6:2=3(ч)
Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что нашли значение у при условии, что х = 20.
При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.
Замечание. При решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.
Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х£5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?
Решение. Катя купила у=2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х - обозначает количество карандашей и х£5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Цель. Раскрыть теоретические основы формирования функциональной зависимости в курсе начальной математики.
Теоретическая часть
1. Исторические сведения о возникновении понятия функции.
2. Понятие функции. Способы задания функции.
3. Прямая пропорциональность.
4. Обратная пропорциональность.
Основные понятия темы
Ø числовая функция;
Ø область определения функции;
Ø область значений функции;
Ø график функции;
Ø прямая пропорциональность;
Ø обратная пропорциональность.
Основные выводы, замечания
Ø Числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы.
Ø Функции могут обладать свойством монотонности, т.е. возрастать или убывать на некотором промежутке.
Ø Свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности можно использовать при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами.
Практическая часть
Обязательные задания
1. Понятие функции является фундаментальным математическим понятием. В процессе эволюции математики оно определенным образом изменилось. Раскройте основные этапы возникновения определения функции в историческом аспекте. Приведите примеры пропедевтических учений Н. Орема (1323-1382), Г.В. Лейбница (1646-1716), И. Бернулли (1718г.), Л.Эйлера (1707-1783) о функции. Дайте определение функции М.И. Лобачевским (19 в.) и определения функции в современных учебниках алгебры и математики.
2. Каждому целому неотрицательному числу поставлен в соответствие его остаток от деления на 5. Изобразите схематично это соответствие, взяв в качестве множества X первые 20 натуральных чисел. Будет ли это соответствие функцией? Каким числам соответствует нуль?
3. Соответствие f задано следующим образом: «Каждому двузначному числу соответствует сумма его цифр». Убедитесь, что это соответствие является функцией. Укажите область определения и множество значений функции. Вычислите значения функции f (41); f (56); f (83). При каких значениях аргумента значение функции равно 2 ?
4. Представьте различными способами число 5 как сумму двух натуральных чисел. Запишите аналитически связь между слагаемыми. Сколькими способами можно представить 5 как сумму двух натуральных чисел?
5. Какие из следующих формул задают на множестве R действительных чисел функцию: а) у = 4х; б) у = ; в) х2 + у2 = 4?
6. Связь между переменными х и у задана формулой х2 + у2 = 25. Задайте эту связь словесно и геометрически. Выразите каждую из переменных через другую. Являются ли эти зависимости функциями? Если нет, то измените соответствующие формулы так, чтобы они задавали функции.
7. Постройте график функции у = 5 - х, если ее область определения такова: а) Х = {0,1, 2, 3,4, 5}; б) Х = [0;5]; в) Х = R.
8. Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на множестве R действительных чисел: а) у = х; б) у = 3; в) х = 5; г) у = 0.
9. Функция f задана при помощи таблицы:
x | ||||||||||
y |
а) Укажите ее область определения и область значений.
б) Задайте функцию f при помощи формулы.
в) Постройте график функции f на координатной плоскости.
г) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения.
10. Докажите, что соответствие между значениями переменных х и у, рассматриваемое в задаче, является функцией; укажите область ее значений при условии, что х < 5; постройте график данной функции: а) Катя купила 3 тетради, а Лена на х тетрадей больше. Сколько тетрадей (у) купили Лена и Катя вместе? б) Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два туриста. При встрече оказалось, что один прошел 3 км, а второй на х км больше. Каково расстояние (у км) между пунктами А и В?
11. Сравните функции, о которых идет речь в предыдущем упражнении. Чем они похожи? В чем их различие? Какими будут графики данных функций?
12. У одного ученика было 2 тетради. В течение 6 дней он каждый день покупал по 3 новых тетради. Сколько тетрадей (у) у него будет через х дней? Выразите у через х и покажите, что установленное соответствие - функция. Укажите ее область определения и область значений. Постройте график.
13. Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?»
14. Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве Х = {1,2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, равном 5, значение функции f равно 6.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?»
15. Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх. Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев?
16. Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. пред. упр.), спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8. О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь?
17. Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматривается в задании: а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10. б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 10. Установите, являются ли эти соответствия функциями.
18. Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая - х см. Какова площадь (у см2) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х £ 6. Докажите, что это соответствие - функция.
19. Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см2. Какова высота (у см) этого прямоугольника? Покажите, что соответствие между значениями переменных х и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 £ х £ 12.
20. Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами: а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч? б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы? в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго - 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м.
Творческие задания
1. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х. Является ли данное уравнение моделью этой задачи?
2. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 60х.
3. Найдите учебника математики для начальной школы текстовые задачи на зависимость вида у = кх.
4. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х + 2.
5. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 15х + 20.
6. Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/6.
7. Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/4.
8. Приведите примеры текстовых задач начального курса математики, между величинами которых прямая пропорциональная зависимость.